1. Paradoja del mentiroso.

Se trata de variantes de la siguiente afirmación: «Esta frase es falsa» (Grelling).

Supongamos que dijeran:

Esta frase consta de siete palabras.

Podemos contar en ella solo seis palabras, por lo que no sería cierta. Si la corrigiéramos, tendríamos esta otra:

Esta frase no consta de siete palabras.

Pero ahora sí tiene siete palabras, luego se trata de una paradoja, puesto que siendo frases que parecen verdaderas, en realidad son falsas ambas.

2. Paradoja de Platón y Sócrates.

Se trata de un diálogo entre ambos pensadores:

Platón: La próxima declaración de Sócrates será falsa.

Sócrates: Platón ha dicho la verdad.

¿Cómo puede ser esto?

3. Paradojas circulares (o bucles).

Seguramente, habréis escuchado alguna que otra paradoja circular. Son aquellas en las que una vez iniciada la idea ésta no parece tener fin. Algunas las encontramos en forma de canción infantil, incluso.

¿Qué fue antes, el huevo o la gallina?

En el libro de Alicia en el país de las maravillas encontramos esta otra:

Alicia: Estoy soñando con el Rey Rojo. También él duerme y sueña conmigo, que estoy soñando con él, quien sueña conmigo…

4. Paradoja del Quijote.

Esta paradoja se encuentra en el segundo tomo de la obra de Miguel de Cervantes.

Había un guardia apostado en un puente en el que había una horca. El hombre preguntaba a cada visitante:

– ¿Para qué viene?

Si contesta la verdad, pasa. Si miente, es ahorcado.

Cierto día llegó un visitante y dijo:

– ¡He venido aquí para ser ahorcado!

Entonces, si no lo ahorcan, habría mentido. Pero si lo ahorcan, habría dicho la verdad y no debería ser ahorcado.

¿Cómo se resolvió la situación?

El guardia no sabía qué hacer, así que pidió audiencia al gobernador de la ínsula para que le indicara qué hacer. Sancho Panza decidió ser clemente, pues en cualquier caso vulneraría la ley.

5. Paradoja de Russell.

Sea W el conjunto de todos los conjuntos C que no se pertenecen así mismos, o sea, C pertenece a W solo cuando C no pertenece a C. Pero entonces se tiene simultáneamente que W se pertenece y no se pertenece a sí mismo.

La siguiente paradoja es una versión de esta paradoja:

6. Paradoja del barbero (Russell).

El barbero afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos. Averiguar si el barbero se afeita a sí mismo.

La aparición de las paradojas lógicas de Russell a principios de siglo XX produjo una crisis importante, dejando claro que se debían revisar los fundamentos de las matemáticas.

Frege acababa de entregar a imprenta su obra «Los fundamentos de la aritmética» (1902), donde creía haber desarrollado la teoría de conjuntos de forma coherente, capaz de ser punto de partida de otras teorías matemáticas. Fue entonces que Russell le escribió acerca de las paradojas, donde conjuntos en apariencia bien formados eran contradictorios.

Frege añadió un apéndice a su obra, que empezaba así: «Difícilmente puede un científico tener que afrontar nada más indeseable que ver hundirse los cimientos justamente cuando da fin a su obra. Tal es la situación en que me encuentro tras la carta de Mr. Bertrand Russell«.

Una bellísima página de la historia de las matemáticas, ¿verdad?

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