Napoleón y las matemáticas

Napoleón en la historia.

Seguramente, sabías que:

  • Napoleón Bonaparte fue el autocoronado emperador de Francia.
  • Fue un gran estratega militar.
  • Invadió numerosos países europeos.
  • Impuso a su hermano José como rey de España (conocido también por el pueblo como Pepe Botella).
  • Fracasó estrepitosamente en su campaña en Rusia.
  • No estuvo a la altura de la flota británica, capitaneada por Nelson.
  • España derrotó a su ejército en la batalla de Bailén (Jaén).
  • Perdió en la costa gaditana frente a los ingleses (batalla de Trafalgar).
  • O que murió en 1821, exiliado en la isla de Santa Elena (África).

Como ya habrás imaginado, hoy voy a contar algunos detalles de la importancia que en su vida tuvieron las matemáticas en particular, y la ciencia en general.

Napoleón Bonaparte en la Escuela Militar.

Napoleón nació en la isla de Córcega poco después de que pasara a ser territorio francés, en 1769. No siendo precisamente holgada la situación familiar, su padre lo trasladó a una Escuela Militar en la Francia continental cuando tenía unos diez años, junto a su hermano José. En ese momento apenas hablaban el francés, dificultando la integración entre sus compañeros. Centrado así en los libros, destacó desde joven en las matem´áticas.

Tras preparar la prueba de acceso para continuar sus estudios en el Real Cuerpo de Artillería, Laplace se sorprendió al aprobar a un joven Napoleón de tan solo 16 años de edad.

Las matem´áticas resultaban fundamentales en la formación de los militares, puesto que debían calcular trayectorias de proyectiles o la ubicación de los cañones. Precisamente Napoleón destacó por la distribución de la artillería y la ejecución, obteniendo éxitos que le ayudaron en su rápido ascenso, pasando a la historia como un gran estratega y estadista.

En la Escuela Militar asistió a las clases de grandes matemáticos de su tiempo. De hecho, dos de ellos tienen el honor de estar entre los 72 sabios de la torre Eiffel: Laplace y Lagrange.

Napoleón y las matemáticas.
Elaboración propia.

Pierre Simon Laplace.

Laplace, de origen humilde, estudio gracias al apoyo de sus vecinos, que aprecieron su talento desde su infancia. Considerado entonces un sabio, se decía que podía hablar con rigor de cualquier tema científico (algunos lo denominaron el Newton francés).

Laplace fue tachado de apoyar a quien ostentara el poder, independientemente de su ideología política (vamos, que era un chaquetero). Él se defendió diciendo que lo hacía para lograr dedicarse a lo que le interesaba: su labor científica. De hecho, mientras Napoleón estuvo en el poder le dedicó sus publicaciones con las palabras «a Napoleón el Grande», y que se encargó de borrar cuando llegó la restauración borbónica.

En cualquier caso, ambos mandatarios le correspondieron y apreciaron, pues fue Ministro de Interior y senador con Napoleón, y Luis XVIII lo nombró Marqués de Laplace y Par de Francia.

Laplace fue también profesor de Fourier, otro matemático importante en la vida de Napoleón.

Joseph Louis Lagrange.

Lagrange también logró que su nombre estuviera grabado entre los 72 sabios de la torre Eifeel.

Profesor y tutor de Fourier, también fue profesor de Napoleón en la Escuela Militar.

Una de sus grandes aportaciones a la ciencia fue la elaboración del sistema métrico.

Luis Monge.

Monge fue profesor de Napoleón en la Escuela Militar, donde impartía clases de Geometría descriptiva (que por aquel entonces era secreto militar). A Monge le debemos el sistema diédrico, que basa la representación en los planos de proyección.

Napoleón era un apasionado de la Geometría, de la que conversaban a menudo, llegando a ser amigo personal. Napoleón le nombró conde y senador.

Formó parte del destacamento científico de la Campaña de Egipto.

Jean Baptiste Fourier.

Discípulo de Laplace y Lagrange, como ellos, su nombre está escrito con letras de 60 cm de alto en la torre Eiffel.

Formó parte del destacamento científico de la Campaña de Egipto. Allí quedó muy impresionado por el calor del desierto. De regreso a Francia trató de replicar las condiciones con la caldera de su casa y abrigándose para estudiar su transmisión. Fue así que nos legó la expresión matemática de la transmisión del calor.

Y es que, como Fourier dijo, «el estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos».

Campaña de Egipto.

En su afán conquistador, Napoleón decidió realizar una campaña en Egipto y Siria, un territorio estratégico (parece que de casi toda la historia). Partieron 30 000 soldados y 167 científicos en 400 barcos hasta la ciudad de Alejandría. En el destacamento había científicos, ingenieros, médicos y eruditos. Al frente estaba el barón Dominique Vivant Denont, que más tarde sería el director del Museo del Louvre.

El equipo de científicos estudió la posibilidad de conectar el mar Mediterráneo y el mar Rojo desde Suez, que se realizó ya en tiempos de Napoleón III.

Mientras cavaban trincheras en la zona portuaria de Rosetta, los soldados encontraron una piedra de basalto de más de un metro de longitud con una inscripción grabada. Realizaron varias copias, que se llevaron a Francia. Al rendirse los franceses frente al ejercito británico, la piedra Rosetta cambió de manos, conservándose desde entonces en el Museo Británico.

La sentencia del rey Ptolomeo que recoge está grabada en tres lenguas: jeroglífico, demótico y grieto, permitiendo la traducción posterior de inscripciones egipcias que hasta entonces fue imposible.

Lorenzo Mascheroni.

Mascheroni fue un matemático italiano que había publicado un libro sobre Geometría dedicado al compás. El estudio de su obra llevó a Napoleón a iniciar conversaciones sobre la resolución de problemas, que además explicaba a Lagrance y a Laplace.

Napoleón conoció personalmente a Mascheroni. Su admiración mutua llevó a que el emperador promoviera la publicación de su obra en francés, y al matemático a dedicarle un teorema.

Teorema de Napoleón.

Si sobre los lados de un triángulo, hacia su exterior, se construyen triángulos equiláteros y se unen sus centros se obtiene un triángulo equilátero.

Este teorema se atribuye a Mascheroni.

Si quieres ver el teorema de Napoleón, puedes ver esta construcción en Geogebra de José Luis Muñoz Casado.

Puntos de Napoleón: N1, N2.

Si sobre la construcción del teorema de Napoleón se une cada vértice del triángulo con el centro del triángulo equilátero construido sobre el lado opuesto, se cortan en un punto de Napoleón denominado N1.

Si en lugar de construir los triángulos equiláteros hacia el exterior del triángulo inicial se hace hacia el interior, análogamente uniendo sus centros con los vértices opuestos a cada lado se obtiene el punto de Napoleón denominado N2.

Problema de Napoleón.

Se trata de una construcción con compás atribuida a Napoleón.

Dado un círculo y su centro, dividirlo en 4 arcos iguales (o bien, hallar los cuatro vértices de un cuadrado inscrito en la circunferencia).

Principales fuentes consultadas:

Oda a los números, de Pablo Neruda

Nos pasamos la infancia

contando piedras, plantas,

dedos, arenas, dientes,

la juventud contando

pétalos, cabelleras.

Contamos los colores, los años,

las vidas y los besos,

en el campo los bueyes,

en el mar las olas.

Fuimos empapelando el mundo

con números y nombres,

pero las cosas existían,

se fugaban del número,

enloquecían en sus cantidades,

se evaporaban dejando su olor o su recuerdo,

y quedaban los números vacíos.

El problema de la forma de la Tierra

1. La Tierra es plana.

Ya desde la antigüedad se especulaba sobre la forma del lugar que habitamos: la Tierra. Se empezaron a formular distintas propuestas de caracter científico que debían de verificarse.

Los primeros intentos de resolver este problema generaron una hipótesis que aún tiene adeptos: la Tierra es plana.

2. La Tierra es esférica.

Desde el siglo V a.C. tiene bastante aceptación la idea de que la Tierra es esférica. Bastaba observar a los barcos de vela desaparecer poco a poco en el horizonte. Restaba determinar cuál era su tamaño.

Hasta nuestro tiempo, a través de referencias posteriores a su obra de Ptolomeo de Alejandría en el siglo II, nos ha llegado parte del trabajo en este sentido de Eratóstenes de Cirene (siglo III a.C.), como su «tratado sobre la medida de la Tierra», el más preciso de su época.

Medición de Eratóstenes.

Si la Tierra es una esfera, sobre dos puntos de un mismo meridiano (semicircunferencia imaginaria que rodea el planeta pasando por los polos) la luz del Sol produce dos sombras diferentes. Eratóstenes conocía la existencia de un pozo de agua en la ciudad de Siena, cercana a Assuan, donde al medidía del solsticio de verano los rayos del Sol incidían en vertical sobre su fondo (es decir: perpendiculares a la superficie de la Tierra). Entonces, los objetos a esa hora no producen sombra en ese lugar y momento. Se desplazó a la ciudad de Alejandría, situada en el mismo meridiano, para poder medir la sombra que proyectan los objetos cuando el Sol está en el punto más alto de su trayectoria en el solsticio de verano, y así determinar el radio de la esfera terrestre.

A partir de la medida de la torre de Alejandría y su sombra determinó el ángulo (7,2º). Por otro lado, se sabía que la distancia entre ambas ciudades era de 5 000 estadios (unidad de longitud de la época), por lo que para la circunferencia completa (360º) tendríamos 250 000 estadios. La equivalencia al sistema métrico actual nos da un valor de unos 40 000 km, por lo que el radio terrestre mediría en las unidades actuales 6 366 km.

Pues bien, según mediciones actuales, el radio de la Tierra se establece en 6 371 km, es decir: el error de los cálculos de Eratóstenes, del siglo II a.C., sería de 5 km (0,08 %).

Aristarco de Samos, unos años antes que Eratóstenes ya había publicado su tratado acerca de las distancias y tamaños del Sol y de la Luna, y cuya teoría heliocéntrica (la primera que nos consta) fue citada posteriormente por Arquímedes y Plutarco.

3. La Tierra es un esferoide alargado por los polos.

Sin embargo, posteriormente los científicos empezaron a cuestionar la esfericidad de la Tierra, puesto que diversos experimentos hacían pensar que la gravedad variaba según la latitud en que se realizaran.

La primera propuesta llegaría en el siglo XVII con René Descartes y su teoría de los vórtices. Imaginó un planeta alargado por los polos. En lugar de movimientos circulares propuso un mecanismo de impulsión. Le apoyaron científicos de su época como Leibniz y los hermanos Bernouilli.

Ya en el siglo XVIII, Isaac Newton demostró que si los planetas estuvieran impulsados por vórtices, sus velocidades en el afelio (el punto más alejado del Sol en su trayectoria) serían mayores que en el perihelio (el más cercano), contradiciendo las leyes de Kepler (siglo XVII). Por tanto, la Tierra debía de estar más bien achatada en los polos.

Mientras tanto, los Cassini, a cargo del Observatorio Astronómico de Paris, pretendían determinar la forma y tamaño de la Tierra. Realizaron diversas mediciones a lo largo de un meridiano en puntos de su territorio (Francia), concluyendo que el planeta era un esferoide alargado por los polos (se sospecha que el error que cometieron podría deberse a la selección de puntos (demasiado cercanos), la poca precisión de los aparatos utilizados o un error de cálculo).

4. La Tierra es un esferoide achatado por los polos.

Para poder resolver la discrepancia entre Newton y el observatorio francés, se pidió la intervención de la Academia de Ciencias de París y la Secretaría de Navegación. Idearon realizar las mediciones en un punto del ecuador de la Tierra y otro en los polos. Así, una expedición fue a Laponia y otra a Ecuador (por aquel entonces, terrotorio de la Corona de España, por lo que pudieron participar dos españoles: Jorge Juan y Santacilia y Antonio de Ulloa).

En concreto, cada expedición midió la longitud del arco de un grado sobre un meridiano, obteniendo las siguientes medidas:

ExpediciónLongitud
Ecuador110,64 km
Paris111,19 km
Laponia111,946 km

Por tanto, confirmando los cálculos de Newton, la Tierra es un esferoide achatado por los polos.

5. ¿Qué repercusión social tuvo?

  • Optimización de rutas marítimas.
  • Unificación de unidades de medida existentes: Joseph Louis Lagrange creó el Comité de Pesas y Medidas, adoptando el Sistema Métrico Decimal y tomando como patrón universal el metro (la diezmillonésima parte de la longitud del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por Paris).

6. Referencias bibliográficas.

El problema de los puentes de Königsberg. Teoría de grafos.

Leonhard Euler demostró la imposibilidad de recorrer los siete puentes con un paseo continuo sin volver a recorrer dos veces el mismo puente (1736). La resolución del problema le dio fama y supuso el nacimiento de la teoría de grafos. El auge de esta teoría se debe a que transforma problemas de la vida real en problemas abstractos utilizando líneas y puntos.

Esquema de los puentes de Königsberg.

Un grafo es un conjunto de vértices y aristas o arcos. Una sucesión de puntos (no necesariamente distintos) es un sendero o camino. Su longitud es el número de aristas que tiene.

Teorema de Euler: un grafo plano y conexo verifica que V – A + R = 2, donde: V es el número de vértices; A, el número de aristas o arcos; y R, el de regiones que delimita (siendo una de ellas la región infinita).

¿Existe alguna forma de pasear por la ciudad cruzando una sola vez todos los puentes y regresando al origen?

El grafo del problema de los puentes de Königsberg.

Para recorrer una sola vez cada arista del grafo, del vértice de salida debe partir una sola arista, o si se vuelve, también se sale de nuevo (cada vez que se pasa por el vértice se suman dos aristas), siendo par + 1 = impar.

Los vértices intermedios deben tener un número par de aristas (una de entrada y otra de salida). Si es así, y el inicio es distinto al fin, tenemos un camino euleriano.

Si se parte del punto en que finaliza, tenemos en ese punto también un número par de aristas: ciclo euleriano (geoconexo con todos los vértices pares).

Existe un sendero cíclico S que pasa por todos los vértices y que recorre una sola vez todos los arcos de un grafo G si y solo si el grafo es conexo y todos los nudos son pares (teorema de Euler).

El problema de Hamilton.

En 1859, William Rowan Hamilton planteó un juego en el que hay que recorrer todos los vértices de un dodecaedro sin repetir los vértices y volviendo al punto de partida.

Se aplica a la optimización de rutas. Se puede resolver en términos de distancia o de coste.

Gustav Kirkhoff, utilizando la Ley de Ohm, lo aplicó a problemas de redes eléctricas (grafo no dirigido, conexo y sin ciclos).

¿Cómo podemos colorear un mapa con el mínimo número de colores, iluminando países limítrofes de distinto color?

Se resolvió gracias a los ordenadores en 1976 (Kenneth Appel y Wolfgang Haken): problema de los cuatro colores.

Si un grafo es euleriano, el mapa de las caras es bicoloreable.

Aplicaciones de la teoría de grafos:

  • Optimización de recursos.
  • Ruta óptima: asfaltado de calles, recogida de basuras, reparto de cartas, rutas de navegadores…
  • Algoritmos: investigación operativa, computadoras, robótica…
  • Traductores de idiomas.
  • Sociología.
  • Orientar tráfico urbano.
  • Gestión de proyectos (PERT).

Principales fuentes consultadas:

Historia de las Matemáticas en la Península Ibérica, de María Victoria Veguín Casas

Entender la historia de las matemáticas es entender el desarrollo de las diferentes civilizaciones que han poblado la Tierra. Encontramos precedentes de la contextualización en nuestro entorno en «Historia de las matemáticas en España», de Francisco Vera Fernández de Córdoba (1933). Los estudios de la autora a principios del siglo XXI culminaron con esta obra, que recoge textos e investigaciones realizadas durante el siglo XX.

Siguiendo la secuencia cronológica, Veguín Casas revisa la evolución del pensamiento matemático desde la prehistoria hasta el siglo XV. Incluye una capítulo muy interesante sobre las aritméticas mercantiles en la Península Ibérica y otro dedicado a la contribución en la matemática europea.

Historia de las Matemáticas en la Península Ibérica. Desde la prehistoria al siglo XV. María Victoria Veguín Casas. Editorial Reverté.

Los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia

Con este sugerente subtítulo nos dejó Stephen Hawking esta obra, «Dios creó los números», donde revisa las obras que propiciaron el desarrollo humano a través de las matemáticas desde la antigüedad.

Realiza una rigurosa revisión no solo de las aportaciones que nos legaron los autores seleccionados, sino de su vida y obra.

Quizás hayas leído referencias en publicaciones posteriores sobre «Los elementos», de Euclides, la segunda obra más vendida de la historia. Aquí tendrás la oportunidad de leer un extracto de lo que nos ha llegado a nuestro tiempo. Directamente podrás leer sus definiciones, postulados y proposiciones, añadiendo los enriquecedores comentarios de Hawking.

Con más de 1 000 páginas, recomiendo la versión impresa para poder leerlo de principio a fin o como manual de consulta.

¿Qué es la belleza? Abre el libro y podrás disfrutarla en cada página.

La matemática es más que una herramienta y un lenguaje para la ciencia. También es principio y fin en sí misma, influyendo en nuestra visión del mundo a lo largo del tiempo. Así, hemos podido incluso mecanizar en parte el pensamiento, en la actual computación digital. Antes incluso de su desarrollo, ya Alan Turing anticipó su potencia y sus límites.

Durante 25 siglos las matemáticas han evolucionado, revolucionando el pensamiento matemático. Ya en el antiguo Egipto se hizo una aproximación de la relación entre un círculo y un cuadrado, obteniendo una aproximación del número pi con un 0.6 % de error (porque lo expresaban como una fracción, un número racional). En la antigua Grecia ya se sabía que algunos números no podían escribirse como una fracción, aunque no se pudo demostrar su irracionalidad hasta el siglo XVIII.

En Grecia se partía de conceptos para desarrollar los conocimientos. Euclides recopiló y sistematizó todo el conocimiento de su época (siglo III aC) en una colección de trece tomos, «Los elementos». La mayoría está dedicada a la aritmética. El tomo IV, a la geometría.

Hoy en día, como en la escuela que fundó en Alejandría, seguimos hablando en primaria y secundaria de la teoría de la divisibilidad (primos, compuestos, múltiplos, divisores…), que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, o del teorema de Pitágoras (siglo V aC, enunciado en términos geométricos (no numéricos)). Es la llamada «geometría euclidiana», para diferenciarla de la no euclidiana (cuando los ángulos de un triángulo no suman 180º).

Hasta el siglo XX, los Elementos de Euclides fue la obra más vendida de la historia, solo superada por la Biblia.

Diofanto de Alejandría, a través de las palabras en la geometría, concluyó que la abstracción podía ser una simplificación. Es por ello considerado el padre del álgebra.

Fue Descartes quien aunó geometría y álgebra (geometría analítica), ya en el siglo XVII.

El desarrollo de las matema´ticas ha sustentado el desarrollo de la humanidad de una forma u otra. Actualmente es complicado crear una obra que aglutinara todo el conocimiento matemático (ha habido algún intento, como el de Bourbaki).

¿Qué obras se incluyen en el libro «Dios creó los números. Los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia«?

  • Euclides: «Los elementos» (selección de los libros 1, 5, 7, 9 y 10).
  • Arquímedes: «Sobre la esfera y el cilindro» (selección de los libros 1 y 2), «Medida del círculo», «El arenario» y «Método sobre los teoremas mecánicos, dedicado a Eratóstenes».
  • Diofanto: «Aritmética» (selección de los libros 2, 3 y 5).
  • Descartes: «La Geometría» (libros 1, 2 y 3).
  • Newton: «Principia» (selección del libro 1).
  • Laplace: «Ensayo filosófico sobre las probabilidades».
  • Fourier: «Teoría analítica del calor» (selección: propagación del calor en un sólido rectangular infinito).
  • Gauss: «Disquisiciones aritméticas» (selección: residuos de potencias y congruencias de segundo grado).
  • Cauchy: «Cálculo diferencial» (selección) y «Cálculo integral» (selección).
  • Boole: «Investigación sobre las leyes del pensamiento».
  • Riemann: «Sobre la representabilidad de una función mediante una serie trigonométrica» (selección), «Sobre la hipótesis en que se funda la geometría» y «Sobre el número de primos menores que una cantidad dada».
  • Weierstrass: «Una teoría de funciones» (selección).
  • Dedekind: «¿Qué son y para qué sirven los números?» (selección) y «Continuidad y números irracionales».
  • Cantor: «Fundamentos de la teoría de los números transfinitos» (selección).
  • Lebesgue: «Integral, longitud y área (selección).
  • Gödel: «Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines» (selección).
  • Turing: «Sobre números computables, con una aplicación al entscheidungsproblem».

«Dios creó los números», de Stephen Hawking. Editorial Crítica.

Raíces enteras de polinomios: Ruffini + calculadora

¿Sabías cómo utilizar la calculadora para agilizar la obtención de raíces enteras de polinomios o su facturación?

Pues… ¡dentro vídeo!

Contenido recomendado para alumnado de ESO y Bachillerato.

Números reales: actividades 1º Bachillerato

¿Estás repasando la unidad sobre números reales de 1º Bachillerato? Espero que te resulte útil esta ficha de actividades (con las soluciones al final).

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Representación de raíces cuadradas en la recta (teorema de Pitágoras)

Os dejo un breve vídeo sobre cómo utilizar el teorema de Pitágoras en la representación de raíces cuadradas en la recta.

Unidad: números reales.

Curso: Matemáticas 1º Bachillerato