Oda a los números, de Pablo Neruda

Nos pasamos la infancia

contando piedras, plantas,

dedos, arenas, dientes,

la juventud contando

pétalos, cabelleras.

Contamos los colores, los años,

las vidas y los besos,

en el campo los bueyes,

en el mar las olas.

Fuimos empapelando el mundo

con números y nombres,

pero las cosas existían,

se fugaban del número,

enloquecían en sus cantidades,

se evaporaban dejando su olor o su recuerdo,

y quedaban los números vacíos.

El problema de los puentes de Königsberg. Teoría de grafos.

Leonhard Euler demostró la imposibilidad de recorrer los siete puentes con un paseo continuo sin volver a recorrer dos veces el mismo puente (1736). La resolución del problema le dio fama y supuso el nacimiento de la teoría de grafos. El auge de esta teoría se debe a que transforma problemas de la vida real en problemas abstractos utilizando líneas y puntos.

Esquema de los puentes de Königsberg.

Un grafo es un conjunto de vértices y aristas o arcos. Una sucesión de puntos (no necesariamente distintos) es un sendero o camino. Su longitud es el número de aristas que tiene.

Teorema de Euler: un grafo plano y conexo verifica que V – A + R = 2, donde: V es el número de vértices; A, el número de aristas o arcos; y R, el de regiones que delimita (siendo una de ellas la región infinita).

¿Existe alguna forma de pasear por la ciudad cruzando una sola vez todos los puentes y regresando al origen?

El grafo del problema de los puentes de Königsberg.

Para recorrer una sola vez cada arista del grafo, del vértice de salida debe partir una sola arista, o si se vuelve, también se sale de nuevo (cada vez que se pasa por el vértice se suman dos aristas), siendo par + 1 = impar.

Los vértices intermedios deben tener un número par de aristas (una de entrada y otra de salida). Si es así, y el inicio es distinto al fin, tenemos un camino euleriano.

Si se parte del punto en que finaliza, tenemos en ese punto también un número par de aristas: ciclo euleriano (geoconexo con todos los vértices pares).

Existe un sendero cíclico S que pasa por todos los vértices y que recorre una sola vez todos los arcos de un grafo G si y solo si el grafo es conexo y todos los nudos son pares (teorema de Euler).

El problema de Hamilton.

En 1859, William Rowan Hamilton planteó un juego en el que hay que recorrer todos los vértices de un dodecaedro sin repetir los vértices y volviendo al punto de partida.

Se aplica a la optimización de rutas. Se puede resolver en términos de distancia o de coste.

Gustav Kirkhoff, utilizando la Ley de Ohm, lo aplicó a problemas de redes eléctricas (grafo no dirigido, conexo y sin ciclos).

¿Cómo podemos colorear un mapa con el mínimo número de colores, iluminando países limítrofes de distinto color?

Se resolvió gracias a los ordenadores en 1976 (Kenneth Appel y Wolfgang Haken): problema de los cuatro colores.

Si un grafo es euleriano, el mapa de las caras es bicoloreable.

Aplicaciones de la teoría de grafos:

  • Optimización de recursos.
  • Ruta óptima: asfaltado de calles, recogida de basuras, reparto de cartas, rutas de navegadores…
  • Algoritmos: investigación operativa, computadoras, robótica…
  • Traductores de idiomas.
  • Sociología.
  • Orientar tráfico urbano.
  • Gestión de proyectos (PERT).

Principales fuentes consultadas:

Números reales: actividades 1º Bachillerato

¿Estás repasando la unidad sobre números reales de 1º Bachillerato? Espero que te resulte útil esta ficha de actividades (con las soluciones al final).

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Representación de raíces cuadradas en la recta (teorema de Pitágoras)

Os dejo un breve vídeo sobre cómo utilizar el teorema de Pitágoras en la representación de raíces cuadradas en la recta.

Unidad: números reales.

Curso: Matemáticas 1º Bachillerato

Breakout: SALVA EL PLANETA. Números complejos.

Si ya te has iniciado en el apasionante mundo de los números imaginarios, pon a prueba cuánto sabes con este breakout sobre números complejos «Salva el planeta». La actividad está diseñada para alumnado de 1º de Bachillerato.

Contenidos que vas a necesitar conocer: números complejos, expresión en forma binómica, polar y trigonométrica, representación gráfica y operaciones elementales (suma, resta, producto, división, potencias (fórmula de Moivre) y raíces).

Si te sabe a poco, no te preocupes: puedes practicar con más actividades de la unidad de números complejos al finalizar la prueba (tienes el enlace en la última página del breakout).

Sin más dilación, damos paso al… breakout «Salva el planeta»:

Por cierto: como ya sabrás, el planeta podría sobrevivir sin nosotros. Pero al menos en esta época en la que vivimos, nosotros no podríamos sobrevivir sin él. Permitidme sin embargo que titule la actividad como «Salva el planeta», aunque no sea el nombre más adecuado.

Si queremos salvar a la humanidad, cuidemos el medio ambiente y hagámonos cada día esta pregunta: ¿qué podemos hacer hoy para mejorar nuestro entorno?

Números complejos. Matemáticas I

Curso: 1º Bachillerato

Asignatura: Matemáticas

Contenidos: números complejos, expresión en forma binómica, polar y trigonométrica, representación gráfica y operaciones elementales (suma, resta, producto, división, potencias (fórmula de Moivre) y raíces).

Actividades de repaso (incluye las soluciones para su comprobación).

Espero que os resulte útil. Un saludo.

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Sube y baja montañas

Os dejo una actividad de la unidad de enteros en la que utilizaremos las altitudes sobre el nivel del mar de ciudades de África, Asia y Europa.

Al final tenéis la versión para imprimir, donde aparecen todos los datos y la tabla para completar los nombres de las ciudades de cada ruta.

Sube y baja montañas

Hasta nuestros días ha llegado una narración sobre una luz en el firmamento que guió a unos sabios venidos desde distintos puntos del mundo conocido por aquel entonces: Melchor procedía de Europa, Gaspar de Asia y Baltasar de África.

Tratando de descubrir el origen exacto de cada uno de ellos, se ha hecho un estudio topográfico con los desniveles que tuvieron que recorrer en las distintas rutas seguidas a partir de datos en documentos conservados en museos de todo el mundo.

A partir de los datos de cada etapa de las 3 rutas, conocida la altitud de algunas ciudades por las que pasaron, tenéis que averiguar lugar de procedencia cada Rey Mago, y ruta seguida.

Ruta del Rey Melchor:

Etapa Pendiente Desnivel
1 Ascendente 463 m
2 Descendente 460 m
3 Descendente 30 m
4 Ascendente 955 m

Ruta del Rey Gaspar:

Etapa Pendiente Desnivel
1 Ascendente 1 009 m
2 Descendente 1 291 m
3 Ascendente 8 m
4 Ascendente 931 m

Ruta del Rey Baltasar:

Etapa Pendiente Desnivel
1 Descendente 1 973 m
2 Descendente 293 m
3 Descendente 66 m
4 Ascendente 942 m

Completa la tabla con las ciudades por las que pasó cada uno de los sabios:

Ruta de Melchor (Europa):



Salida:  Segunda: Tercera: Cuarta: Destino: Belén
Ruta de Gaspar (Asia):



Salida:  Segunda: Tercera: Cuarta: Destino: Belén
Ruta de Baltasar (África):



Salida:  Segunda: Tercera: Cuarta: Destino: Belén

Altitud de cada ciudad:
Tiro: 10 m
El Cairo: 23 m
Karachi: 26 m
Bagdad: 34 m
Roma: 37 m
Estambul: 40 m
Luxor: 89 m
Hanói: 308 m
Jartum: 382 m
Sarajevo: 500 m
Belén: 965 m
Katmandú: 1 317 m
Adís Abeba: 2 355 m

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Siguiendo una estrella

Os dejo una actividad de la unidad de Sucesiones (3º ESO Académicas y Aplicadas), perfecta para realizar durante los meses de diciembre y enero. Al final tenéis la ficha en formato descargable, lista para imprimir.

¿Siguiendo una estrella?

Hasta nuestros días ha llegado una narración sobre una luz en el firmamento que guió a unos sabios venidos desde distintos puntos del mundo conocido por aquel entonces: Melchor procedía de Europa, Gaspar de Asia y Baltasar de África.

Los sabios actuales, del mundo de la ciencia, han estudiado cuál podría ser el origen de esta historia. Algunos han rastreado el firmamento, encontrando conjunciones planetarias. Otros han estudiado los cometas, que viajan por nuestro Sistema Solar cíclicamente, y se pueden ver desde nuestro planeta periódicamente.

El cometa Halley pasó por última vez en 1986, y se espera su visita en el próximo 2061.

Teniendo en cuenta que la fecha de nacimiento de Jesús sería entre 8 y 2 años antes de lo que se creía inicialmente, demuestra si el cometa Halley pudo ser la estrella que anunció su venida al mundo.

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Fracciones: el videojuego.

Repasa las fracciones con un videojuego. Ayuda a Luisiana a recorrer todos los niveles de juego, luchando contra los enemigos y contestando correctamente las preguntas de los personajes que iréis conociendo en esta aventura.

Pulsa en la imagen para empezar a jugar.

Se puede disfrutar desde hoy, Día Internacional de las Matemáticas (14 de marzo de 2021), aunque seguiré desarrollando algunos niveles y completándolo.

Acompaña a la protagonista, Luisiana, en esta aventura.

Se puede jugar en el ordenador, la tablet o un móvil. Recomiendo, si se puede, en un teléfono, pues permite lugar contra los enemigos o desplazarse utilizándose los pulgares.

Ajedrez y matemáticas: mueve pieza

El ajedrez es un juego que puede utilizarse como instrumento de aprendizaje.

Conocidas las bondades del ajedrez en el desarrollo del pensamiento y en la mejora del rendimiento académico, difundir la cultura de ajedrez a través de actividades curriculares puede ser una sencilla forma de trasladar sus beneficios al alumnado.

Video de la charla disponible clicando en la imagen.

Invitada por la Sociedad Extremeña de Educación Matemática Ventura Reyes Prósper, el pasado martes 23 de febrero de 2021 tuve la oportunidad de compartir algunas propuestas para la utilización del ajedrez en el aula de matemáticas.

Agradecer a la SEEM Ventura Reyes Prósper por la iniciativa y la acogida en sus MateMartes.