Curiosidades matemáticas de… Córdoba: la proporción cordobesa

El arquitecto Rafael de la Hoz Arderius (1924 – 2000), que completó su formación en Estados Unidos, vivió y trabajó durante muchos años en Córdoba. Impulsor de la modernización de la arquitectura en España, en la ciudad de Córdoba podemos contemplar muchos de sus proyectos, entre los que destacaría:

  • Viviendas: chalets y bloques de viviendas.
  • Colegio de las Teresianas (1959).
  • Casa de Ejercicios Espirituales San Pablo (1962).
  • Edificio de la fábrica de cervezas El Águila (1962).
  • Hospitales: psiquiátrico y general (1966).
  • Parque Figueroa (1968).
  • Colegio Mayor de la Asunción (1968).
  • Celosías en madera de cerro del cerramiento norte de la Mezquita-Catedral de Córdoba (1972).
  • Facultad de Medicina, de la Universidad de Córdoba (1973).
  • Reloj de sol de la Diputación de Córdoba (1977).
  • Fundación Antonio Gala (1997).

Entre los reconocimientos alcanzados, cuenta con el Premio Nacional de Arquitectura (1956).

Foto: detalle de la celosía del Patio de los Naranjos. Fuente: pixabay.

Apasionado de la geometría, observó en unas pruebas realizadas a estudiantes celebradas en la Diputación de Córdoba que en los rectángulos trazados se repetía una misma proporción entre sus lados, y que se aproximaba bastante a la que se pueden observar en fachadas de edificios (como en el convento de Capuchinos), en el Mihrab de la Mezquita o del Salón Rico de Madinat al-Zahra, entre otros.

El rectángulo formado, al que llamó rectángulo cordobés, mantenía la misma razón que la existente entre el radio y el lado de un octógono regular: C = 1,3066…

Foto: Mihrab de la Mezquita-Catedral de Córdoba. Fuente: pixabay.

El octógono se forma como intersección de dos cuadrados (recordemos que el cuadrado está muy presente en la simbología musulmana, frente al triángulo cristiano).

La investigación que realizó culminó con la publicación de un artículo en las Actas VII de las Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (las JAEM), en 1995.

Vemos, pues, que tuvimos que esperar al siglo XX para fundamentar matemáticamente esta proporción, tan presente en el sur peninsular.


Esta entrada acompaña la edición del Día de Andalucía (28 de febrero) del programa radiofónico cultural «La noche paradigmática«, emitido el 26 de febrero de 2022: 4×20.

Aritmética modular: aplicaciones

¿Alguna vez has observado lo interiorizado que tenemos que las 14 horas equivale a decir que son las 2 de la tarde? ¿O que si este mes el día 7 será martes, también lo serán el 14, el 21 y el 28? ¿O que si un número es múltiplo de 3, también lo será la suma de sus cifras? ¿Qué tienen en común todas estas «casualidades»?

Estudiar estas congruencias es objeto de la aritmética modular, basada en el estudio del resto o residuo (R) de la división. Si, por ejemplo, dividimos 6 entre 2, el cociente es 3, y su resto, 0 (R=0), luego podemos expresarlo como que 6 es 0 módulo 2 (el residuo es 0 al dividirlo entre 2). Si dividimos 7 entre 2, en este caso el resto sería 1, luego 7 = 1 módulo 2. Así, podríamos decir que todos los números pares se podrían escribir como 0 módulo 2, puesto que el resto al dividirlos entre 2 siempre sería 0. Análogamente, todos los números impares se podrían escribir como 1 módulo 2.

Encontramos numerosos recursos donde poder conocer la aritmética modular, como:

En esta reseña únicamente voy a apuntar algunos ejemplos de sus aplicaciones, tan cotidianas como bellas, y de las que estuvimos hablando recientemente en el espacio dedicado a las matemáticas en el programa de radio «La noche paradigmática».

Tiempo: los meses.

Tomemos un mes cualquiera del calendario. Por ejemplo, noviembre de 2021.

Calendario noviembre 2021, orientación horizontal, grandes cifras, en formatos Word, Excel y PDF

En un mes, los días de la semana se repiten cada siete días. Si hoy es jueves, en 7 días nuevamente será jueves.

¿Qué tienen en común los días que caen en domingo? Exacto: son múltiplo de 7, es decir: al dividirlos entre 7, el resto es 0. Por tanto, podemos escribirlos como 0 módulo 7.

Si nos fijamos en la primera columna, por ejemplo, tenemos que son 1 módulo 7, pues R=1 si dividimos cualquiera de ellos entre 7. Por ejemplo: 1/7 tendría C=0, R=1; 8/7 tendría C=1, R=1;…

Tiempo: los días.

Un días tiene 24 horas. A veces tenemos que resolver un problema donde necesitamos calcular la duración de un suceso, y si es mayor a un día, nos será muy útil la aritmética modular. Si sabemos que a las 17 h un satélite está justo en nuestra vertical, y que tarda 80 horas en volver a ese punto, ¿a qué hora ocurrirá?

Podríamos pensar que: 17 h + 80 h = 17 h + 72 h + 8 h = {3 días = 72 h} = 17 h + 8 h = 25 h = 24 h + 1 h = {1 día = 24 h} = 1 h

Con la aritmética modular, simplemente así: 17 h + 80 h = 97 h; 97:24 = 4, R=1; 97 = 1 módulo 24.

Tiempo: las horas.

Podríamos decir que usamos tanto las congruencias que somos bilingües, pues entendemos perfectamente que las 14 horas son las 2 de la tarde, o que las 21 horas son las 9. En este caso, el ciclo de tiempo es de 12 horas, por lo que consideramos módulo 12, expresándolo así: 14 = 2 módulo 12, 21 = 9 módulo 12.

Seguridad: DNI.

No sólo en ciclos temporales podemos usar las congruencias. Se aplica cuando necesitamos generar un dígito verificador o de comprobación.

En el caso del DNI, se utilizan 23 letras, por lo que se emplea el módulo 23. Se divide el número del DNI, y su resto o residuo corresponderá a una letra preasignada.

Aquí os dejo enlace a una calculadora, donde podéis comprobar qué letra se asigna a cada resto R.

Seguridad: cuenta bancaria.

De igual forma, el número asignado a cada cuenta bancaria cuenta con dígito verificador. En este caso, en lugar de asignar una letra se utilizan las 2 últimas cifras. Esto ya lo sabías, ¿verdad?

Seguridad: ISBN.

¿Te has fijado en el código numérico de un libro? Es como una matrícula que lleva cada obra, y se compone actualmente de 13 cifras. Basado en el módulo 10, el último carácter es el dígito verificador. En este caso, podría ser una cifra o una letra. Precisamente por eso en algunas publicaciones aparece separado ligeramente de las cifras anteriores (por un espacio o un guión).

El libro que estoy leyendo estos días tiene el siguiente código: 978 84 080 0534 6. Qué indica:

ISBN: 978 (número internacional estándar del libro)

País: 84 (España)

Editorial: 080 (editorial Planeta)

Libro: 0534 (Geometría para turistas)

Dígito de control: 6 (módulo 10)

Criterios de divisibilidad: 2.

Al utilizar el sistema decimal, nos fijamos en módulo 10. Teniendo en cuenta que 10 = 2 · 5, al descomponer cualquier número de varias cifras podemos comprobar que solo debemos fijarnos en la última cifra para verificar que es divisible entre 2 o entre 5. Fíjate:

2 375 = 2 000 + 300 + 70 + 5

Són múltiplo de 10 (es decir, de 2 y de 5) 2 000, 300 y 70, luego para verificar si es divisible entre 2 basta fijarnos en la última cifra, las unidades. En este caso, es el 5. Luego 2 375 no es divisible entre 2, ya que no lo es el 5 (1 módulo 2).

Simplemente cambiando la última cifra por una par ya tendríamos un número que cumpliera con el criterio de divisibilidad del 2. Por ejemplo, el 2 378 (0 módulo 2).

Criterios de divisibilidad: 5.

Como 10 = 2 · 5, ocurriría como en el caso anterior: fijémonos en la última cifra.

2 375 = 2 000 + 300 + 70 + 5

Son múltiplo de 5 los tres primeros sumandos: 2 000, 300 y 70. ¿Qu´é ocurre con la última cifra? En este caso, el 5 es múltiplo de 5, luego 2 375 = 0 módulo 5 (es divisible entre 5).

Criterios de divisibilidad: 3.

Veamos qué ocurre al estudiar si un número es divisible entre 3. Recordemos que lo será uno de cada 3 cíclicamente.

123 = 100 + 20 + 3

En este caso, tenemos que estudiar por separado son divisibles entre 3:

  • 100 / 3 = 33, R = 1 –> 100 = 1 módulo 3
  • 20 / 3 = 6, R = 2 –> 20 = 2 módulo 3
  • 3 / 3 = 1, R 0 –> 3 = 0 módulo 3

Por cierto: en la calculadora se puede obtener fácilmente el cociente y el resto.

Podemos escribir entonces así:

123 = 100 + 20 + 3 = 1 módulo 3 + 2 módulo 3 + 0 módulo 3 = (1 + 2 + 0) módulo 3 = 3 módulo 3 = 0 módulo 3.

Acabamos de deducir que para que un número sea divisible entre 3 la suma de sus cifras debe serlo.

Criterios de divisibilidad: 9 o la prueba del 9.

Análogamente comprobaríamos el criterio del 9.

Lo que aquí vamos a ver realmente es la conocida como prueba del 9, que se utilizaba cuando las cuentas se hacían sin ayuda tecnológica para comprobarlas.

Supongamos que tenemos que realizar una larga suma (aunque en el ejemplo lo haremos más sencillo, y ya te dejo practicar con los que tú prefieras). Si A + B = C, y está correctamente hecha la operación, la suma de las cifras de A y de B será igual a la suma de las cifras de C. Vamos a verlo con este ejemplo: 123 + 25 = 148.

A: 1 + 2 + 3 = 6

B: 2 + 5 = 7

6 + 7 = 13 ; 1 + 3 = 4 —> las cifras de A y B suman 13, que a su vez suman 4.

C: 1 + 4 + 8 = 13 ; 1 + 3 = 4 –> las cifras de C suman 13, que a su vez suman 4, como queríamos comprobar.

La prueba del 9 es válida también para producto. Así, si M · N = P, la suma de las cifras de M por la suma de las cifras de N también será igual a la suma de las cifras de P, por gracia de la aritmética modular. Para los mismos números del ejemplo anterior, tendríamos que 123 · 25 = 3 075.

1 + 2 + 3 = 6

2 + 5 = 7

6 · 7 = 42 ; 4 + 2 = 6 –> el producto de la suma de sus cifras es 42, que a su vez suma 6.

3 + 0 + 7 + 5 = 15 ; 1 + 5 = 6 –> las cifras de P suman 15, que a su vez suman 6, como queríamos comprobar.

Criterios de divisibilidad: 9 o la fecha del cumpleaños.

¡Pero aún hay más con el criterio del 9!

Toma las 8 cifras de la fecha de cualquier cumpleaños, y réstale un número con las mismas cifras, pero en otro orden (¡el que quieras!). Si sumas las cifras del número obtenido obtienes… ¡un múltiplo de 9!

¡Vamos a verlo con la fecha del nacimiento de la matemática Maryam Mirzakhani, medalla Fields 2014: el 12 de mayo de 1 977:

12051977 – 11259770 = 792207 –> 7 + 9 + 2 + 2 + 0 + 7 = 27 –> 2 + 7 = 9

¡Vaya! ¡Cuántos buenos momentos pueden crearse con el criterio de divisibilidad del 9! ¡Qué interesante la aritmética modular, verdad? Pues te diré algo: esto no es nada. Te invito a profundizar en las apasionantes congruencias.

¡Hasta pronto!

Oda a los números, de Pablo Neruda

Nos pasamos la infancia

contando piedras, plantas,

dedos, arenas, dientes,

la juventud contando

pétalos, cabelleras.

Contamos los colores, los años,

las vidas y los besos,

en el campo los bueyes,

en el mar las olas.

Fuimos empapelando el mundo

con números y nombres,

pero las cosas existían,

se fugaban del número,

enloquecían en sus cantidades,

se evaporaban dejando su olor o su recuerdo,

y quedaban los números vacíos.

El problema de los puentes de Königsberg. Teoría de grafos.

Leonhard Euler demostró la imposibilidad de recorrer los siete puentes con un paseo continuo sin volver a recorrer dos veces el mismo puente (1736). La resolución del problema le dio fama y supuso el nacimiento de la teoría de grafos. El auge de esta teoría se debe a que transforma problemas de la vida real en problemas abstractos utilizando líneas y puntos.

Esquema de los puentes de Königsberg.

Un grafo es un conjunto de vértices y aristas o arcos. Una sucesión de puntos (no necesariamente distintos) es un sendero o camino. Su longitud es el número de aristas que tiene.

Teorema de Euler: un grafo plano y conexo verifica que V – A + R = 2, donde: V es el número de vértices; A, el número de aristas o arcos; y R, el de regiones que delimita (siendo una de ellas la región infinita).

¿Existe alguna forma de pasear por la ciudad cruzando una sola vez todos los puentes y regresando al origen?

El grafo del problema de los puentes de Königsberg.

Para recorrer una sola vez cada arista del grafo, del vértice de salida debe partir una sola arista, o si se vuelve, también se sale de nuevo (cada vez que se pasa por el vértice se suman dos aristas), siendo par + 1 = impar.

Los vértices intermedios deben tener un número par de aristas (una de entrada y otra de salida). Si es así, y el inicio es distinto al fin, tenemos un camino euleriano.

Si se parte del punto en que finaliza, tenemos en ese punto también un número par de aristas: ciclo euleriano (geoconexo con todos los vértices pares).

Existe un sendero cíclico S que pasa por todos los vértices y que recorre una sola vez todos los arcos de un grafo G si y solo si el grafo es conexo y todos los nudos son pares (teorema de Euler).

El problema de Hamilton.

En 1859, William Rowan Hamilton planteó un juego en el que hay que recorrer todos los vértices de un dodecaedro sin repetir los vértices y volviendo al punto de partida.

Se aplica a la optimización de rutas. Se puede resolver en términos de distancia o de coste.

Gustav Kirkhoff, utilizando la Ley de Ohm, lo aplicó a problemas de redes eléctricas (grafo no dirigido, conexo y sin ciclos).

¿Cómo podemos colorear un mapa con el mínimo número de colores, iluminando países limítrofes de distinto color?

Se resolvió gracias a los ordenadores en 1976 (Kenneth Appel y Wolfgang Haken): problema de los cuatro colores.

Si un grafo es euleriano, el mapa de las caras es bicoloreable.

Aplicaciones de la teoría de grafos:

  • Optimización de recursos.
  • Ruta óptima: asfaltado de calles, recogida de basuras, reparto de cartas, rutas de navegadores…
  • Algoritmos: investigación operativa, computadoras, robótica…
  • Traductores de idiomas.
  • Sociología.
  • Orientar tráfico urbano.
  • Gestión de proyectos (PERT).

Principales fuentes consultadas:

Números reales: actividades 1º Bachillerato

¿Estás repasando la unidad sobre números reales de 1º Bachillerato? Espero que te resulte útil esta ficha de actividades (con las soluciones al final).

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Representación de raíces cuadradas en la recta (teorema de Pitágoras)

Os dejo un breve vídeo sobre cómo utilizar el teorema de Pitágoras en la representación de raíces cuadradas en la recta.

Unidad: números reales.

Curso: Matemáticas 1º Bachillerato

Breakout: SALVA EL PLANETA. Números complejos.

Si ya te has iniciado en el apasionante mundo de los números imaginarios, pon a prueba cuánto sabes con este breakout sobre números complejos «Salva el planeta». La actividad está diseñada para alumnado de 1º de Bachillerato.

Contenidos que vas a necesitar conocer: números complejos, expresión en forma binómica, polar y trigonométrica, representación gráfica y operaciones elementales (suma, resta, producto, división, potencias (fórmula de Moivre) y raíces).

Si te sabe a poco, no te preocupes: puedes practicar con más actividades de la unidad de números complejos al finalizar la prueba (tienes el enlace en la última página del breakout).

Sin más dilación, damos paso al… breakout «Salva el planeta»:

Por cierto: como ya sabrás, el planeta podría sobrevivir sin nosotros. Pero al menos en esta época en la que vivimos, nosotros no podríamos sobrevivir sin él. Permitidme sin embargo que titule la actividad como «Salva el planeta», aunque no sea el nombre más adecuado.

Si queremos salvar a la humanidad, cuidemos el medio ambiente y hagámonos cada día esta pregunta: ¿qué podemos hacer hoy para mejorar nuestro entorno?

Números complejos. Matemáticas I

Curso: 1º Bachillerato

Asignatura: Matemáticas

Contenidos: números complejos, expresión en forma binómica, polar y trigonométrica, representación gráfica y operaciones elementales (suma, resta, producto, división, potencias (fórmula de Moivre) y raíces).

Actividades de repaso (incluye las soluciones para su comprobación).

Espero que os resulte útil. Un saludo.

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Sube y baja montañas

Os dejo una actividad de la unidad de enteros en la que utilizaremos las altitudes sobre el nivel del mar de ciudades de África, Asia y Europa.

Al final tenéis la versión para imprimir, donde aparecen todos los datos y la tabla para completar los nombres de las ciudades de cada ruta.

Sube y baja montañas

Hasta nuestros días ha llegado una narración sobre una luz en el firmamento que guió a unos sabios venidos desde distintos puntos del mundo conocido por aquel entonces: Melchor procedía de Europa, Gaspar de Asia y Baltasar de África.

Tratando de descubrir el origen exacto de cada uno de ellos, se ha hecho un estudio topográfico con los desniveles que tuvieron que recorrer en las distintas rutas seguidas a partir de datos en documentos conservados en museos de todo el mundo.

A partir de los datos de cada etapa de las 3 rutas, conocida la altitud de algunas ciudades por las que pasaron, tenéis que averiguar lugar de procedencia cada Rey Mago, y ruta seguida.

Ruta del Rey Melchor:

Etapa Pendiente Desnivel
1 Ascendente 463 m
2 Descendente 460 m
3 Descendente 30 m
4 Ascendente 955 m

Ruta del Rey Gaspar:

Etapa Pendiente Desnivel
1 Ascendente 1 009 m
2 Descendente 1 291 m
3 Ascendente 8 m
4 Ascendente 931 m

Ruta del Rey Baltasar:

Etapa Pendiente Desnivel
1 Descendente 1 973 m
2 Descendente 293 m
3 Descendente 66 m
4 Ascendente 942 m

Completa la tabla con las ciudades por las que pasó cada uno de los sabios:

Ruta de Melchor (Europa):



Salida:  Segunda: Tercera: Cuarta: Destino: Belén
Ruta de Gaspar (Asia):



Salida:  Segunda: Tercera: Cuarta: Destino: Belén
Ruta de Baltasar (África):



Salida:  Segunda: Tercera: Cuarta: Destino: Belén

Altitud de cada ciudad:
Tiro: 10 m
El Cairo: 23 m
Karachi: 26 m
Bagdad: 34 m
Roma: 37 m
Estambul: 40 m
Luxor: 89 m
Hanói: 308 m
Jartum: 382 m
Sarajevo: 500 m
Belén: 965 m
Katmandú: 1 317 m
Adís Abeba: 2 355 m

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Siguiendo una estrella

Os dejo una actividad de la unidad de Sucesiones (3º ESO Académicas y Aplicadas), perfecta para realizar durante los meses de diciembre y enero. Al final tenéis la ficha en formato descargable, lista para imprimir.

¿Siguiendo una estrella?

Hasta nuestros días ha llegado una narración sobre una luz en el firmamento que guió a unos sabios venidos desde distintos puntos del mundo conocido por aquel entonces: Melchor procedía de Europa, Gaspar de Asia y Baltasar de África.

Los sabios actuales, del mundo de la ciencia, han estudiado cuál podría ser el origen de esta historia. Algunos han rastreado el firmamento, encontrando conjunciones planetarias. Otros han estudiado los cometas, que viajan por nuestro Sistema Solar cíclicamente, y se pueden ver desde nuestro planeta periódicamente.

El cometa Halley pasó por última vez en 1986, y se espera su visita en el próximo 2061.

Teniendo en cuenta que la fecha de nacimiento de Jesús sería entre 8 y 2 años antes de lo que se creía inicialmente, demuestra si el cometa Halley pudo ser la estrella que anunció su venida al mundo.

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