Tales por tangos: versión karaoke

Podemos escribirlo con o sin hache (Thales o Tales). Y podemos repasarlo con alguno de sus enunciados tradicionales o… ¡con mucho arte!

Tales por tangos, de Mayte Jiménez Romera.

Veamos una versión del teorema de Tales:

A uno de los lados del triángulo,
dice el teorema de Tales,
trazando paralelas,
obtenemos otro semejante.

He tenido la oportunidad de participar en el curso «Flamenco como innovación educativa», donde me propuse hacer una versión del teorema que se pueda cantar, acompañar (con palmas o el cajón) e incluso bailar (recreando la figura el propio teorema). Y ahí fue donde Alicia Carrasco (Mujer Klórica) me enseñó cómo traducir a lenguaje flamenco (¡que no es lo mismo!), quedando así el texto básico del teorema de Tales:

A uno de los lados del triangle,
trazo paralelas,
me salen iguales,
¡ay, dice mi Tales!

Y digo que es la versión básica porque quien interprete estos tangos flamencos podrá realizar las variaciones (y repeticiones) que le inspire.

En el mencionado curso he tenido la oportunidad de vivir «Tales por tangos», y surgieron diferentes versiones.

Para poder trasladarlo al aula (que es el objetivo de esta versión del teorema por tangos flamencos) lo he adaptado a una estructura fija, donde los acordes van marcando el ritmo de los tangos y la melodía va sugiriendo cómo cantarlo. No he añadido en esta versión percusión (de palmas o cajón) para que se puedan añadir libremente junto al cante.

Esta actividad la he preparado pensando en el alumnado de Matemáticas 3º y 4º de la ESO (aunque puede utilizarse en otros niveles).

Gracias a las docentes del curso, inspiradoras y de excelente metodología, de las que aprendí tanto (y espero seguir aprendiendo):

Celia Verdasco Rodríguez (docente en IES Levante, Algeciras).

Alicia Carrasco (cantaora y mucho más, Mujer Klórica).

La actividad curricular se enmarca en el programa «Vivir y sentir el patrimonio«, programa de innovación educativa de la Consejería de Educación y Deporte de la Junta de Andalucía.

#TalesPorTangos de @maytejromera

#flamenco #VivirySentirElPatrimonioAnd

@Patrimonio_And @ProInnoAnd @EducaAnd @tu_cep @FormacProfAnd

Curiosidades matemáticas de… Algeciras: el Mercado Ingeniero Torroja

La exuberante vegetación de la ciudad de Algeciras y las colinas que la rodean sorprende a quienes llegan por primera vez a esta ciudad. Se alza como un oasis y nos evoca la denominación que le dieron quienes llegaron hasta aquí desde los territorios del norte de África (la península verde).

La ciudad de Algeciras se encuentra en el estrecho de Gibraltar, un lugar estratégico donde se unen el mar Mediterráneo y el océano Atlántico, friccionan las placas tectónicas africana y euroasiática, y donde confluyen territorios de España, Marruecos y Reino Unido.

Actualmente cuenta con el puerto de mayor tráfico de contenedores y buques del Mediterráneo, el mayor núcleo industrial de Andalucía (segundo de España), más del 80% de su superficie como suelo forestal o natural (parque natural de los Alcornocales, parque natural del Estrecho, paraje natural de las marismas del río Palmones…) y unos recursos culturales consecuencia de su geografía e historia.

Paralelas en Algeciras: Flysch desde playa de Getares. Fuente: propia.

Al igual que el contacto entre placas crearon las bellísimas paralelas, que parecen esculpidas en piedra, conocidas como Flysch, el entorno natural y cultural de Algeciras propició el desarrollo de un flamenco único, con grandes artistas como el genial Paco de Lucía. Precisamente la ruta dedicada al guitarrista pasa por… ¡el mercado Ingeniero Torroja! ¡Cuántos ratos pasó con su familia Paco allí, en el puesto del mercado que era el sustento del hogar!

Paralelas en Algeciras: Flysch desde Punta de San García, Parque del Centenario. Fuente: propia.

La ciudad primigenia, la romana Iulia Traducta, se dedicaba a la industria de los productos del mar, como otras ciudades romanas cercanas (Baelo Claudia). Se dice que su nombre (Iulia la transportada) se debe a estar poblada por disidentes al imperio romano de Tánger, transportados a la península como castigo (exiliados). De hecho, hasta la conquista árabe es mencionada como Traducta o incluso como Tingentera (Tingis altera, la otra Tánger).

La ciudad, por su cercanía al continente africano, sufrió sucesivas invasiones: almorávides, almohades y diversos pueblos pasaron por Iulia Traducta de camino hacia otros territorios de Europa.

La mar cuadriculada.

Fue refundada por Tarik en el año 711. Los musulmanes la llamaron Al-Yazirat Al-Jadra (isla o península verde).

Sufrió asedios castellanos hasta 1344, por lo que algunos habitantes construyeron una nueva ciudad independiente, la Villa Nueva de la ciudad, que hizo que se empezara a nombrar a la ciudad en plural (puesto que había dos ciudades, la Al-Yazirat musulmana y la Al-Yazirat nueva): Algeciras.

Fue destruida nuevamente por nazaríes de Granada en 1379.

Ya en 1704, refugiados de Gibraltar se asientan en la antigua medina (tras la toma británica).

La ciudad de Algeciras, por su geolocalización, ha jugado un papel importante en la historia reciente de España: la guerra de la Independencia, la guerra de África… Se conservan restos de algunas de estas batallas en el Parque del Centenario, en la Punta de San García.

Su historia queda resumida en el lema del escudo de la ciudad: Civitas Condita Ex Lethaeo Bis Restavrata (ciudad fundada sobre el olvido, dos veces restaurada), en referencia a las realizadas por Tarik (711) y por los exiliados de Gibraltar (1704).

La ciudad de Algeciras urbanísticamente se ha desarrollado principalmente a partir del siglo XVIII, por lo que cuenta con numerosas notas de aire modernista y vanguardista, o donde apreciar la belleza de la geometría:

Geometría en Algeciras: acceso a playa del Rinconcillo. Algeciras. Fuente: propia.

Pero vayamos a la obra de Eduardo Torroja en Algeciras: el mercado de abastos. Si tenéis la oportunidad de visitarlo, no dudéis en acudir en horario de mercado. Podéis aprovechar para realizar alguna compra de productos locales y a precios excelentes. Quienes trabajan en sus puestos no solo conocen bien su producto sino que prestan un servicio de gran calidad. Me encontré además con una sorpresa cuando estaba eligiendo un tarro de miel del Parque de los Alcornocales: el tendero llevaba una pulsera con el diseño de la claraboya como motivo (aquí os dejo la foto). ¡Qué maravilla!

Pulsera con el diseño de la claraboya del Mercado de Algeciras. Fuente: propia.

Eduardo Torroja Miret (1899 – 1961) es, posiblemente, uno de los ingenieros españoles con mayor influencia en la ingeniería civil de la historia.

Pertenece a una familia repleta de profesionales dedicados a la ingeniería civil en diversas disciplinas (a excepción de su abuelo):

  • Juan Torroja (su abuelo): catedrático de Geografía e Historia.
  • Eduardo Torroja y Caballé (su padre): arquitecto y matemático, renovó la matemática española en el área de la Geometría. Fue miembro de la Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales.
  • José María Torroja Miret (hermano): ingeniero de Caminos, astrónomo y topógrafo.
  • Antonio Torroja Miret (hermano): ingeniero de Minas, doctor en Matemáticas, catedrático y rector de la Universidad de Barcelona.
  • Juan Torroja Miret (hermano): doctor en Ciencias Físicas, director del Instituto del Consejo Superior de Investigaciones Científicas que hoy lleva su nombre.
  • José Antonio Torroja Cavanillas (hijo): ingeniero de Caminos, doctor y catedrático de la Universidad Politécnica de Madrid.
  • Yago Torroja (nieto): profesor de Electrónica en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales.

Pero volvamos al protagonista de esta entrada, Eduardo Torroja Miret.

Obtuvo su titulación como ingeniero de Caminos en 1923, y se incorporó a una empresa donde ya se dedicó al cálculo de estructuras: el acueducto de Tempul (sobre el río Guadalete, en Jerez de la Frontera (Cádiz)), la cimentación del puente de San Telmo (Sevilla), la del puente de Sancti-Petri (Cádiz)…

Panorámica del Mercado de Abastos de Algeciras. Fuente: propia.

En 1927 crea su propia empresa, donde quiere desarrollar nuevas ideas aunando el ingenio técnico y su particular sensibilidad artística. Compaginará ya durante su vida la faceta de investigador con la de constructor, desarrollando una metodología para realizar los cálculos matemáticos de estructuras de hormigón armado y pretensado, que será su mayor contribución a la evolución de la construcción a nivel mundial, es decir: aportó rigor al diseño estructural matematizando las fuerzas y momentos de fuerza implicados en cualquier estructura, así como la resistencia de los materiales de los elementos utilizados. Impulsó la creación de normativa de estructuras de hormigón armado y pretensado (que básicamente describen el procedimiento a seguir). Tengamos en cuenta que a principios del siglo XX no existían métodos fiables de cálculo de estructuras.

Le llegan los primeros encargos: diversas estructuras en Madrid (en la Universidad, el Hospital Clínico…), y ya en 1935 diseña el Frontón de Recoletos (destruido durante la guerra civil), las viseras del hipódromo de la Zarzuela y la que le daría fama internacional: el Mercado de Abastos de Algeciras (o Mercado Ingeniero Torroja).

Plaza de Abastos de Algeciras: exterior. Fuente: propia.

El Mercado de Abastos de Algeciras es uno de los hitos de la arquitectura española del siglo XX. Edificio racionalista, está declarado Bien de Interés Cultural por la Junta de Andalucía, y está considerado «el mejor ejemplo del Movimiento Moderno en Andalucía«.

Paseando por la ciudad de Algeciras, enmascarado entre los edificios que lo rodean (más altos), la primera sensación al verlo por primera vez es de sorpresa, incluso habiendo visto antes fotos del edificio. Exteriormente vemos un edificio de planta octogonal con una cubierta curva, con una visera en cada uno de sus ocho lados. En 4 de ellos (alternados) se encuentran las puertas de acceso, que dejan ver las calles que lo cruzan de forma radial.

Vista interior del Mercado de Abastos de Algeciras. Fuente: propia.

Al acceder al interior podremos ver los actuales puestos del mercado distribuidos en 4 anillos concéntricos. Nuestra mirada se irá a la cúpula, donde una bellísima claraboya octogonal deja entrar la luz, que crea un efecto en la cúpula como si se introdujera en el edificio derramándose por la superficie interior de la cubierta.

Ni en el exterior ni el interior se aprecia nervio alguno. Una límpida cúpula que es un casquete de una esfera de un radio de 44,10 metros, y que en la parte superior tiene tan solo 9 cm de espesor. Con un diámetro de casi 50 metros (47,8 m), la cúpula parece estar flotando en el aire.

De aspecto liviano, parece que por arte de magia el edificio ni se cae por la fuerza de la gravedad ni sale volando por la fuerza del viento de levante. Si nos situamos en el centro, podremos contemplar el diseño de la claraboya donde, con paralelas a sus radios y lados, se distribuyen 128 triángulos isósceles en cuatro anillos concéntricos.

Claraboya del Mercado Ingeniero Torroja. Fuente: propia.

La claraboya octogonal tiene 10 metros de diámetro, y se realizó en una estructura de hormigón prefabricado sobre la que se montaron los cristales triangulares.

El proyecto inicial era diáfano. Imaginemos cuando estemos frente al edificio o en su interior que no tuviera las paredes exteriores ni contara con las estructuras de los puestos del mercado. Sin duda, aún parecería más ligera, como si la cúpula estuviera suspendida en el aire.

Animación construida en Geogebra sobre el motivo geométrico de la claraboya del Mercado de Abastos Ingeniero Torroja. Elaboración popia.

Esta cúpula fue la más grande de la historia durante 30 años (hasta la construcción, en 1965, de la conocida como Octava Maravilla del Mundo, el Astrodome de Houston, en EEUU).

Tras la Guerra Civil española, Torroja se dedica a la reconstrucción de obras públicas y empieza a investigar con las posibilidades de las estructuras metálicas electrosoldadas. Empieza a levantar estructuras mixtas de hormigón y acero, y vuelve a batir un récord mundial con uno de sus puentes, con el arco central de 209 metros de luz (el mayor hasta esa fecha).

Destacan muchas de sus obras por sus formas geométricas: la cuba hiperbólica del depósito de Fada (Marruecos), la estación subterránea Nuevos Ministerios, el Teatro de Cáceres, arcos, presas, iglesias…


Fuentes consultadas:


El contenido de esta entrada, dedicada al mercado de abastos de la ciudad de Algeciras, fue objeto del espacio dedicado a las Matemáticas en el programa de radio cultural «La noche paradigmática» 4×24, dirigido por Rafael Macho, continuando con la serie de destinos turísticos desde la perspectiva de las matemáticas.

Si os apetece escucharlo, mi intervención empieza en el minuto 5 aproximadamente.


Esta entrada forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima octava edición, también denominada 13.1, está organizada por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

Agradezco su labor y entusiasmo en la organización y gestión de la presente edición para dar continuidad a esta iniciativa por la difusión y divulgación de contenidos matemáticos, creada por Tito Eliatron Dixit en 2010. Casualmente, me estrené participando hace ya algunos años también de la mano de Rafael Martínez.

Curiosidades matemáticas de… Córdoba: la proporción cordobesa

El arquitecto Rafael de la Hoz Arderius (1924 – 2000), que completó su formación en Estados Unidos, vivió y trabajó durante muchos años en Córdoba. Impulsor de la modernización de la arquitectura en España, en la ciudad de Córdoba podemos contemplar muchos de sus proyectos, entre los que destacaría:

  • Viviendas: chalets y bloques de viviendas.
  • Colegio de las Teresianas (1959).
  • Casa de Ejercicios Espirituales San Pablo (1962).
  • Edificio de la fábrica de cervezas El Águila (1962).
  • Hospitales: psiquiátrico y general (1966).
  • Parque Figueroa (1968).
  • Colegio Mayor de la Asunción (1968).
  • Celosías en madera de cerro del cerramiento norte de la Mezquita-Catedral de Córdoba (1972).
  • Facultad de Medicina, de la Universidad de Córdoba (1973).
  • Reloj de sol de la Diputación de Córdoba (1977).
  • Fundación Antonio Gala (1997).

Entre los reconocimientos alcanzados, cuenta con el Premio Nacional de Arquitectura (1956).

Foto: detalle de la celosía del Patio de los Naranjos. Fuente: pixabay.

Apasionado de la geometría, observó en unas pruebas realizadas a estudiantes celebradas en la Diputación de Córdoba que en los rectángulos trazados se repetía una misma proporción entre sus lados, y que se aproximaba bastante a la que se pueden observar en fachadas de edificios (como en el convento de Capuchinos), en el Mihrab de la Mezquita o del Salón Rico de Madinat al-Zahra, entre otros.

El rectángulo formado, al que llamó rectángulo cordobés, mantenía la misma razón que la existente entre el radio y el lado de un octógono regular: C = 1,3066…

Foto: Mihrab de la Mezquita-Catedral de Córdoba. Fuente: pixabay.

El octógono se forma como intersección de dos cuadrados (recordemos que el cuadrado está muy presente en la simbología musulmana, frente al triángulo cristiano).

La investigación que realizó culminó con la publicación de un artículo en las Actas VII de las Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (las JAEM), en 1995.

Vemos, pues, que tuvimos que esperar al siglo XX para fundamentar matemáticamente esta proporción, tan presente en el sur peninsular.


Esta entrada acompaña la edición del Día de Andalucía (28 de febrero) del programa radiofónico cultural «La noche paradigmática«, emitido el 26 de febrero de 2022: 4×20.

Ajedrez y matemáticas: mueve pieza

El ajedrez es un juego que puede utilizarse como instrumento de aprendizaje.

Conocidas las bondades del ajedrez en el desarrollo del pensamiento y en la mejora del rendimiento académico, difundir la cultura de ajedrez a través de actividades curriculares puede ser una sencilla forma de trasladar sus beneficios al alumnado.

Video de la charla disponible clicando en la imagen.

Invitada por la Sociedad Extremeña de Educación Matemática Ventura Reyes Prósper, el pasado martes 23 de febrero de 2021 tuve la oportunidad de compartir algunas propuestas para la utilización del ajedrez en el aula de matemáticas.

Agradecer a la SEEM Ventura Reyes Prósper por la iniciativa y la acogida en sus MateMartes.

Cuadrados y raíces: mejor lo vemos

En esta presentación empezamos dibujando rectángulos al multiplicar, pasamos al caso de los cuadrados y terminamos buscando el lado del cuadrado: la raíz cuadrada.

Teorema de Pitágoras: demostración visual

Me encantó la demostración visual del teorema de Pitágoras recogida en el libro «Demostraciones visuales en matemáticas. Ver para pensar«, de Ana Carvajal Sánchez y José Luis Muñoz Casado, publicado por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).

Este libro recoge la demostración visual que acompañaba a la algebraica en un tratado chino escrito alrededor del año 400 a.C., Chou Pei Ching.

En GeoGebra podéis disfrutar de una construcción donde poder observarla paso a paso. Existen otras diferentes incluso (podéis investigarlas con facilidad con la misma herramienta).

Dado que el tablero de ajedrez puede facilitar la representación, decidí hacer una versión de la demostración sobre su cuadrícula bicolor (en esta entrada recojo la versión en vídeo).

Cuadrado, octógono y pirámide plegando papel

Llevaba un tiempo disfrutando de las creaciones que plegando papel comparten personas de todo el mundo. A menudo, se utiliza para enseñar geometría de forma manipulativa.

Desde siempre me ha gustado este tipo de manualidad, pero me quedé en formas sencillas como el barquito, la pajarita, el sombrero, los avioncitos o algún cohete o nave espacial. Así que he decidido investigar un poco y aprender cómo llevar a la clase de Geometría esta particular forma de combinar arte y geometría.

En este video vemos cómo construir simplemente plegando papel un cuadrado, base para cualquier figura. En este primer ejemplo vemos cómo obtener el octógono mientras observamos los distintos triángulos que aparecen al ir realizando las sucesivas bisectrices, los ejes de simetría,…

Ya para terminar, plegando el octógono de forma sencilla podemos construir un sencillo cuerpo geométrico: una pirámide de base cuadrada.

Espero que os guste e inspire este vídeo sobre origami o plegar papel.

Con esta entrada participo en el Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima novena edición, también llamadada 11.3, está organizado por Fran Martínez Seoane a través de su blog Astronautas y Robots vs Coronavirus.