El problema de los puentes de Königsberg. Teoría de grafos.

Leonhard Euler demostró la imposibilidad de recorrer los siete puentes con un paseo continuo sin volver a recorrer dos veces el mismo puente (1736). La resolución del problema le dio fama y supuso el nacimiento de la teoría de grafos. El auge de esta teoría se debe a que transforma problemas de la vida real en problemas abstractos utilizando líneas y puntos.

Esquema de los puentes de Königsberg.

Un grafo es un conjunto de vértices y aristas o arcos. Una sucesión de puntos (no necesariamente distintos) es un sendero o camino. Su longitud es el número de aristas que tiene.

Teorema de Euler: un grafo plano y conexo verifica que V – A + R = 2, donde: V es el número de vértices; A, el número de aristas o arcos; y R, el de regiones que delimita (siendo una de ellas la región infinita).

¿Existe alguna forma de pasear por la ciudad cruzando una sola vez todos los puentes y regresando al origen?

El grafo del problema de los puentes de Königsberg.

Para recorrer una sola vez cada arista del grafo, del vértice de salida debe partir una sola arista, o si se vuelve, también se sale de nuevo (cada vez que se pasa por el vértice se suman dos aristas), siendo par + 1 = impar.

Los vértices intermedios deben tener un número par de aristas (una de entrada y otra de salida). Si es así, y el inicio es distinto al fin, tenemos un camino euleriano.

Si se parte del punto en que finaliza, tenemos en ese punto también un número par de aristas: ciclo euleriano (geoconexo con todos los vértices pares).

Existe un sendero cíclico S que pasa por todos los vértices y que recorre una sola vez todos los arcos de un grafo G si y solo si el grafo es conexo y todos los nudos son pares (teorema de Euler).

El problema de Hamilton.

En 1859, William Rowan Hamilton planteó un juego en el que hay que recorrer todos los vértices de un dodecaedro sin repetir los vértices y volviendo al punto de partida.

Se aplica a la optimización de rutas. Se puede resolver en términos de distancia o de coste.

Gustav Kirkhoff, utilizando la Ley de Ohm, lo aplicó a problemas de redes eléctricas (grafo no dirigido, conexo y sin ciclos).

¿Cómo podemos colorear un mapa con el mínimo número de colores, iluminando países limítrofes de distinto color?

Se resolvió gracias a los ordenadores en 1976 (Kenneth Appel y Wolfgang Haken): problema de los cuatro colores.

Si un grafo es euleriano, el mapa de las caras es bicoloreable.

Aplicaciones de la teoría de grafos:

  • Optimización de recursos.
  • Ruta óptima: asfaltado de calles, recogida de basuras, reparto de cartas, rutas de navegadores…
  • Algoritmos: investigación operativa, computadoras, robótica…
  • Traductores de idiomas.
  • Sociología.
  • Orientar tráfico urbano.
  • Gestión de proyectos (PERT).

Principales fuentes consultadas:

Números reales: actividades 1º Bachillerato

¿Estás repasando la unidad sobre números reales de 1º Bachillerato? Espero que te resulte útil esta ficha de actividades (con las soluciones al final).

Cargador Cargando…
Logotipo de EAD ¿Tarda demasiado?

Recargar Recargar el documento
| Abrir Abrir en una nueva pestaña

DESCARGA [1.67 MB]

Representación de raíces cuadradas en la recta (teorema de Pitágoras)

Os dejo un breve vídeo sobre cómo utilizar el teorema de Pitágoras en la representación de raíces cuadradas en la recta.

Unidad: números reales.

Curso: Matemáticas 1º Bachillerato

Ajedrez y matemáticas: mueve pieza

El ajedrez es un juego que puede utilizarse como instrumento de aprendizaje.

Conocidas las bondades del ajedrez en el desarrollo del pensamiento y en la mejora del rendimiento académico, difundir la cultura de ajedrez a través de actividades curriculares puede ser una sencilla forma de trasladar sus beneficios al alumnado.

Video de la charla disponible clicando en la imagen.

Invitada por la Sociedad Extremeña de Educación Matemática Ventura Reyes Prósper, el pasado martes 23 de febrero de 2021 tuve la oportunidad de compartir algunas propuestas para la utilización del ajedrez en el aula de matemáticas.

Agradecer a la SEEM Ventura Reyes Prósper por la iniciativa y la acogida en sus MateMartes.

Cuadrados y raíces: mejor lo vemos

En esta presentación empezamos dibujando rectángulos al multiplicar, pasamos al caso de los cuadrados y terminamos buscando el lado del cuadrado: la raíz cuadrada.

Las rutas de los Reyes Magos: ficha práctica

Hasta nuestros días ha llegado una narración sobre una luz en el firmamento que guió a unos sabios venidos desde distintos puntos del mundo conocido por aquel entonces: Melchor procedía de Europa, Gaspar de Asia y Baltasar de África.
Tratando de descubrir el origen exacto de cada uno de ellos, se ha hecho un estudio topográfico con los desniveles que tuvieron que recorrer en las distintas rutas seguidas a partir de información encontrada en documentos conservados en museos y archivos de todo el mundo.
A partir de los datos de cada etapa de las tres rutas, conocida la altitud de ciudades por las que se sospecha que pasaron, tenéis que averiguar lugar de procedencia de cada rey mago.

¿Lo lograréis?


Con esta ficha práctica podréis repasar los criterios de evaluación 1.2, 1.6, 2.1 y 2.4.

Cargador Cargando…
Logotipo de EAD ¿Tarda demasiado?

Recargar Recargar el documento
| Abrir Abrir en una nueva pestaña

DESCARGA [522.31 KB]

Crucigrama de porcentajes

¿Qué tal si repasamos los porcentajes con un crucigrama?

Un pasatiempo perfecto para alumnado de secundaria que está repasando los porcentajes.

Si queréis hacer copias en papel, os dejo aquí la Porcentajes Crucigrama:

Cargador Cargando…
Logotipo de EAD ¿Tarda demasiado?

Recargar Recargar el documento
| Abrir Abrir en una nueva pestaña

DESCARGA [22.20 KB]

Ficha práctica: fracciones

Estos días en clase hemos estado haciendo algunas actividades sobre fracciones utilizando la metodología de «Lápices al centro».

Cada persona ha trabajado su ficha, disponiendo cada grupo de un juego de fracciones. Personalmente, me encantan las matemáticas manipulativas. Esta actividad la he planteado en anteriores cursos utilizando unos juegos en papel de colores que preparé en casa. Pero se van deteriorando y busqué alguna opción más resistente, puesto que les ayuda a interiorizar los conceptos básicos sobre las fracciones (identificación, equivalencias, sumas y restas).

Os dejo la Ficha de Fracciones que hemos utilizado, por si os sirve.

Un saludo.

 

La criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes (s. III a.C.)

Hace mucho tiempo, vivió en la antigua Grecia Eratóstenes, matemático que ideó un procedimiento muy sencillo para obtener los números primos. Consistía en ir tachando aquellos que son múltiplo los anteriores, y que no hayan sido marcados de una lista tan extensa como deseemos (50, 100, 200,…).

Empezaríamos así:

  • El 2 es primo; empezamos eliminando los números que son múltiplo de 2. Por ejemplo: 4, 6, 8,…

  • El siguiente número que queda libre (es primo) es el 3. Tachamos los que son múltiplo de 3, y aún no han sido marcados. Por ejemplo: 9, 15, 21,…

  • El siguiente número que no ha sido tachado es el 5 (primo también). Eliminamos después sus múltiplos. Por ejemplo: 25, 35,…

Continuamos sucesivamente hasta donde se pida.

Finalmente, los números que quedan sin tachar forman el conjunto de números primos menores que el mayor de la lista inicial (en el ejemplo anterior, habríamos obtenido los números primos menores que 100.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Podéis comprobar si lo habéis hecho bien en este enlace, donde aparecen los números primos menores que 1.000. ¿Os animáis a llegar a esa cantidad?

Aquí os dejo la ficha Números – La criba de Eratóstenes, por si queréis imprimirla.