Curiosidades matemáticas de… Córdoba: la proporción cordobesa

El arquitecto Rafael de la Hoz Arderius (1924 – 2000), que completó su formación en Estados Unidos, vivió y trabajó durante muchos años en Córdoba. Impulsor de la modernización de la arquitectura en España, en la ciudad de Córdoba podemos contemplar muchos de sus proyectos, entre los que destacaría:

  • Viviendas: chalets y bloques de viviendas.
  • Colegio de las Teresianas (1959).
  • Casa de Ejercicios Espirituales San Pablo (1962).
  • Edificio de la fábrica de cervezas El Águila (1962).
  • Hospitales: psiquiátrico y general (1966).
  • Parque Figueroa (1968).
  • Colegio Mayor de la Asunción (1968).
  • Celosías en madera de cerro del cerramiento norte de la Mezquita-Catedral de Córdoba (1972).
  • Facultad de Medicina, de la Universidad de Córdoba (1973).
  • Reloj de sol de la Diputación de Córdoba (1977).
  • Fundación Antonio Gala (1997).

Entre los reconocimientos alcanzados, cuenta con el Premio Nacional de Arquitectura (1956).

Foto: detalle de la celosía del Patio de los Naranjos. Fuente: pixabay.

Apasionado de la geometría, observó en unas pruebas realizadas a estudiantes celebradas en la Diputación de Córdoba que en los rectángulos trazados se repetía una misma proporción entre sus lados, y que se aproximaba bastante a la que se pueden observar en fachadas de edificios (como en el convento de Capuchinos), en el Mihrab de la Mezquita o del Salón Rico de Madinat al-Zahra, entre otros.

El rectángulo formado, al que llamó rectángulo cordobés, mantenía la misma razón que la existente entre el radio y el lado de un octógono regular: C = 1,3066…

Foto: Mihrab de la Mezquita-Catedral de Córdoba. Fuente: pixabay.

El octógono se forma como intersección de dos cuadrados (recordemos que el cuadrado está muy presente en la simbología musulmana, frente al triángulo cristiano).

La investigación que realizó culminó con la publicación de un artículo en las Actas VII de las Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (las JAEM), en 1995.

Vemos, pues, que tuvimos que esperar al siglo XX para fundamentar matemáticamente esta proporción, tan presente en el sur peninsular.


Esta entrada acompaña la edición del Día de Andalucía (28 de febrero) del programa radiofónico cultural «La noche paradigmática«, emitido el 26 de febrero de 2022: 4×20.

Curiosidades matemáticas de… Taj Mahal (Agra, India)

Considerada una de las Siete Maravillas del Mundo Moderno, el Taj Mahal (corona de la primera dama de palacio) es un conjunto de edificios y jardines diseñado por el arquitecto Ahmed Lahauri por encargo del emperador mogol Sha Jahan en honor de su difunta esposa Muntaz Mahal.

Taj Mahal. Fuente: pixabay.

Construido en el siglo XVII, participaron durante 23 años unas 20.000 personas, con la ayuda de unos mil elefantes. Ocupa unas 17 hectáreas (170.000 metros cuadrados), en el que además del edificio principal se incluyen una mezquita, un alojamiento para visitantes y jardines.

El Sha era un amante de la simetría, de ahí que el diseño cuidara especialmente las simetrías tanto en el edificio principal como en la creación de estanques que reflejaran los alzados.

Las cuatro falladas son iguales. En el centro se alza una cúpula acebollada, de planta octogonal, de 25 metros de altura y 20 metros de diámetro, que descansa sobre un tambor circular de 7 metros de altura. Supuso un reto constructivo, empleando enormes andamios.

Se utilizó mármol blanco, procedente de canteras que distaban unos 300 kilómetros, sobre las que artesanos realizaron decoraciones con motivos vegetales, caligráficos y geométricos en los que emplearon 28 tipos de gemas (jaspe, jade, turquesas, zafiros, lapislázuli…).

Los minaretes de las esquinas se alzan ligeramente hacia afuera para, en caso de caída, no dañar el edificio principal.

Decoración del Taj Mahal. Fuente: pixabay.

Diseñada para albergar los restos mortales de Muntaz Mahal, la simetría se rompió al enterrar junto a ella al Sha.

Los cimientos, de madera, tal vez no hayan recibido los cuidados necesarios durante estos siglos, presentando el edificio actual algunas grietas y daños que exigen se tomen medidas para sanear y mantener la estructura.

Como edificio emblemático, se ha tratado de construir réplicas en Bangladesh (2008) y en Dubai (el Taj Arabia, destinado a centro comercial y hotel, aún en proyecto).


Esta entrada acompaña la edición 4×19 del programa radiofónico cultural «La noche paradigmática«, emitido el 20 de febrero de 2022: 4×19.

Curiosidades matemáticas de… la estatua de Colón de Barcelona

La estatua de Colón fue inaugurada el 1 de junio de 1888 con motivo de la Exposición Universal de Barcelona.

Escultura de Cristóbal Colón en Barcelona. Fuente: Pixabay.

Diseñada por Gaietà Buigas, participaron 20 artistas en su construcción. El conjunto mide 60 metros de altura. Se trata de una columna rematada por una esfera sobre la que se encuentra una figura de Cristóbal Colón de 7,20 metros de altura y 233 toneladas. El dedo índice de su mano derecha, que apunta hacia el mar Mediterráneo, mide 50 centímetros.

Encontramos un modelo exacto de los zapatos en el Museo del Calzado. De 112 centímetros de longitud, equivale a una talla 168 (un punto de zapatero mide 2/3 cm), respetando el diseño la proporcionalidad del cuerpo de un hombre de aquella época (en altura y talla del pie).

Los grupos escultóricos de la base están dedicados a catalanes que ayudaron a Cristóbal Colón en su viaje. Le acompañan relieves con escenas relacionadas con su vida.

Un ascensor permite subir al mirador existente en la esfera.

En aquel tiempo, su construcción supuso un reto. Se utilizaron unos enormes andamios, alzados a modo de exoesqueleto durante su ejecución.

En los años de su construcción también se estaba realizando la escultura a Colón de Madrid. Tal vez por eso el diseño inicial, en el que la mano derecha se apoyaba en su pecho, se modificó. Lo cierto es que finalmente apunta hacia un punto en el mar. Aunque el continente americano se encuentra en otra dirección, si la mirada de Colón se dirigiera hacia el interior (las Ramblas o el Tibidabo) podría confundir a quienes la contemplaran, por lo que se optó por dirigirlo hacia una dirección que nos llevaría más bien a Génova (Italia) o incluso a la India (destino con el que partió Colón en su viaje.


Esta entrada acompaña la edición 4×19 del programa radiofónico cultural «La noche paradigmática«, emitido el 20 de febrero de 2022: 4×19.

Ahorcado «Cuánto sabes de ajedrez»

Pon a prueba cuánto sabes de ajedrez con esta versión del ahorcado.

Puedes jugar cuantas rondas quieras. En cada una de ellas se te plantearán 5 palabras relacionadas con el ajedrez: piezas, aperturas, defensas…

Para cada palabra tendrás un total de 4 vidas. A medida que las vayas perdiendo te aparecerán 3 pistas que te ayuden a descubrir cada término.

¿Superarás el reto?

3.14: Poemaths para el Día Internacional de las Matemáticas

En el año 2019 la UNESCO, con objeto de reconocer el papel de las matemáticas para hacer frente a los desafíos de nuestro tiempo en diversos ámbitos, proclamó la celebración del Día Internacional de las Matemáticas (DIM) el día 14 de marzo (3/14), que hasta entonces se celebraba el Día de Pi (PiDay). La celebración incluye concursos, tanto para estudiantes como profesorado (aquí tienes más información).

La belleza de las matemáticas se realza a menudo en alianza con las letras. Aquí os dejo una pequeña muestra de ello: poesía de autores consagrados (Pablo Neruda, Gloria Fuertes, Miguel de Unamuno…) y algunos no tanto, que nos dejan en redes sociales con la etiqueta PoeMaths.

El beso preciso, de Frederic Soddy.

Pueden besarse los labios, dos a dos,
sin mucho calcular, sin trigonometría;
mas ¡ay! no sucede igual en Geometría,

pues si cuatro círculos tangentes quieren ser
y besar cada uno a los otros tres,
para lograrlo habrán de estar los cuatro
o tres dentro de uno, o alguno
por otros tres a coro rodeado.

De estar uno entre tres, el caso es evidente
pues son todos besados desde afuera.
Y el caso tres en uno no es quimera,
al ser éste uno por tres veces besado internamente.

Cuatro círculos llegaron a besarse,
cuanto menores tanto más curvados,
y es su curvatura tan sólo la inversa
de la distancia desde el centro.

Aunque este enigma a Euclides asombrara,
ninguna regla empírica es necesaria:
al ser las rectas de nula curvatura
y ser las curvas cóncavas tomadas negativas,
la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas
es igual a un medio del cuadrado de su suma.

Espiar de las esferas
los enredos amorosos
pudiérale al inquisidor
requerir cálculos tediosos,
pues siendo las esferas más corridas,
a más de un par de pares
una quinta entra en la movida.

Empero, siendo signos y ceros como antes
para besar cada una a las otras cuatro,
El cuadrado de la suma de las cinco curvaturas
ha de ser triple de la suma de sus cuadrados.


Dos y dos son cuatro, de Miguel de Unamuno.

Dos y dos son cuatro,

cuatro y dos son seis,

seis y dos son ocho,

y ocho dieciséis,

y ocho veinticuatro,

y ocho treinta y dos,

¡ánimas benditas,

me arrodillo yo!

(De una canción de rueda que, siendo yo niño, oí cantar a las niñas)

Dos por dos son cuatro,

dos por tres son seis,

¡ay que corta vida

la que nos hacéis!

Tres por tres son nueve,

dos por cinco diez,

¿volverá a la rueda

la que fue niñez?

Seis por tres dieciocho,

diez por diez son cien.

¡Dios! ¡No dura nada

nuestro pobre bien!

Infinito y cero,

¡la fuente y el mar!

¡Cantemos la tabla

de multiplicar!


Números comparados, de Gloria Fuertes.

Cuéntame un cuento de números,
háblame del dos y el tres
– del ocho que es al revés
igual que yo del derecho -.

Cuéntame tú que te han hecho
el nueve, el cinco y el cuatro
para que los quieras tanto;
anda pronto, cuéntame.

Dime ese tres que parece
los senos de cualquier foca;
dime, ¿de quién se enamora
ese tonto que es el tres?

Ese pato que es el dos,
está navegando siempre;
pero a mí me gusta el siete,
porque es un roto en la vida,
y como estoy descosida,
le digo a lo triste: Vete.

Cuéntame el cuento y muy lenta,
que aunque aborrezco el guarismo,
espero gozar lo mismo
si eres tú quien me lo cuenta.


Los números irracionales, de José Florencio Martínez.

(√2 ≠ m/n)

Grietas de la razón inmensurables:

los números de la injusticia,

los números del hambre,

los números insomnes,

números innumerables

como el dolor de un niño,

números del dolor o de la rabia de un inocente hasta la muerte,

números de la muerte, de la vida,

números de raíz interminable,

inasibles, abortos,

números cojos o tullidos, tuertos,

números de lo estúpido, de ese lado

animal de las sombras aritméticas

en la adusta caverna del cerebro.

pero tu corazón no es un número sin cifra,

ni la clepsidra de las lágrimas;

es una derrota inmensurable y fúlgida

contra las manos frías de la muerte.


Oda a los números, de Pablo Neruda.

¡Qué sed de saber cuánto!
Qué hambre de saber
cuántas estrellas tiene el cielo!

Nos pasamos la infancia
contando piedras, plantas,
dedos, arenas, dientes,
la juventud contando
pétalos, cabelleras.
Contamos los colores, los años,
las vidas y los besos,
en el campo los bueyes,
en el mar las olas.

Los navíos se hicieron cifras que se fecundaban.
Los números parían.
Las ciudades eran miles, millones,
el trigo centenares de unidades que adentro
tenían otros números pequeños,
más pequeños que un grano.

El tiempo se hizo número.
La luz fue numerada
y por más que corrió con el sonido
fue su velocidad un 37.

Nos rodearon los números.

Cerrábamos la puerta,
de noche, fatigados,
llegaba un 800, por debajo,
hasta entrar con nosotros en la cama,
y en el sueño los 4 000 y los 77
picándonos la frente
con sus martillos o sus alicates.

Los 5 agregándose
hasta entrar en el mar o en el delirio,
hasta que el sol saluda con su cero
y nos vamos corriendo
a la oficina, al taller,
a la fábrica, a comenzar de nuevo el infinito
número 1 de cada día.

Tuvimos, hombre, tiempo
para que nuestra sed
fuera saciándose,
el ancestral deseo
de enumerar las cosas y sumarlas,
de reducirlas hasta
hacerlas polvo,
arenales de números.
Fuimos empapelando el mundo
con números y nombres,
pero las cosas existían,
se fugaban del número,
enloquecían en sus cantidades,
se evaporaban dejando
su olor o su recuerdo
y quedaban los números vacíos.

Por eso, para ti quiero las cosas.
Los números que se vayan a la cárcel,
que se muevan en columnas cerradas
procreando hasta darnos la suma
de la totalidad de infinito.
Para ti sólo quiero
que aquellos números del camino
te defiendan y que tú los defiendas.
La cifra semanal de tu salario
se desarrolle hasta cubrir tu pecho.
Y del número 2 en que se enlazan
tu cuerpo y el de la mujer amada
salgan los ojos pares de tus hijos
a contar otra vez las antiguas estrellas.
Y las innumerables espigas
que llenarán la tierra transformada.


PoeMaths, de Anabel Forte (BayesAna).

Os dejo una selección de sus #PoeMaths, donde fusiona conceptos matemáticas con sentimientos. Podéis disfrutarlos en su página o a través de su cuenta en Twitter.

13 de enero 2022:

Ha girado el reloj otra vez, vuelta completa
Dos pi radianes o trescientos sesenta grados
Como tu quieras,

Mas sigo esperando que cese esta eterna tormenta
que se alcance pronto el pico más alto 
Y que la derivada negativa se vuelva.

2 de diciembre 2021:

¿Qué es el cero? Me preguntabas
Y sigues sin ver que el cero es nada
El vacío al que caigo cuando me faltas

¿Y el infinito? ¿Dónde se guarda?
Se guarda en las horas en que no llamas
En las noches en vela sin ti en la cama.

7 de junio 2021:

Meces las mentes  
Abstractos conceptos 
Transformas el mundo 
Estimas lo incierto 
Mejoras la fórmula 
Alejas los peros. 
Te temen algunas, 
Ignoran tu juego 
Comprenderte: un reto 
Alcanzarte: un sueño 
Superarte: el cielo.

A estos PoeMaths y a algunos más dedicamos el espacio de Matemáticas en el programa cultural de radio La noche paradigmática (ediciones 10 y 11 de la tercera temporada: 3.10 y 3.11).

Paradojas probabilísticas (Martin Gardner).

1. La falacia del jugador.

La falacia del jugador o la falacia de Montecarlo se da cuando se piensa erróneamente que el hecho de no haber obtenido aún un resultado favorable en un juego de azar hará más probable que esté a punto de obtenerse.

También se da a la inversa: pensar que por haber obtenido un resultado concreto recientemente, la probabilidad de que vuelva a salir se reduce.

Dado, Rojo, Dos, Juego, Laminación

Estas ideas hacen pensar que los dados tienen memoria, por ejemplo, y que si llevamos una racha sin ver un determinado resultado, la probabilidad de que se obtenga en la siguiente tirada es mayor que si hubiera salido ya.

No hay que confundir este caso con la probabilidad de obtener un resultado concreto en sucesos que no son independientes o que no son equiprobables. Un ejemplo sería si lanzáramos una chincheta, y suponer que existe la misma probabilidad de que se detenga sobre el clavo que sobre su cabeza.

Chinchetas, Multicolor, Color, Ronda
Chinchetas de colores.


Aritmética modular: aplicaciones

¿Alguna vez has observado lo interiorizado que tenemos que las 14 horas equivale a decir que son las 2 de la tarde? ¿O que si este mes el día 7 será martes, también lo serán el 14, el 21 y el 28? ¿O que si un número es múltiplo de 3, también lo será la suma de sus cifras? ¿Qué tienen en común todas estas «casualidades»?

Estudiar estas congruencias es objeto de la aritmética modular, basada en el estudio del resto o residuo (R) de la división. Si, por ejemplo, dividimos 6 entre 2, el cociente es 3, y su resto, 0 (R=0), luego podemos expresarlo como que 6 es 0 módulo 2 (el residuo es 0 al dividirlo entre 2). Si dividimos 7 entre 2, en este caso el resto sería 1, luego 7 = 1 módulo 2. Así, podríamos decir que todos los números pares se podrían escribir como 0 módulo 2, puesto que el resto al dividirlos entre 2 siempre sería 0. Análogamente, todos los números impares se podrían escribir como 1 módulo 2.

Encontramos numerosos recursos donde poder conocer la aritmética modular, como:

En esta reseña únicamente voy a apuntar algunos ejemplos de sus aplicaciones, tan cotidianas como bellas, y de las que estuvimos hablando recientemente en el espacio dedicado a las matemáticas en el programa de radio «La noche paradigmática».

Tiempo: los meses.

Tomemos un mes cualquiera del calendario. Por ejemplo, noviembre de 2021.

Calendario noviembre 2021, orientación horizontal, grandes cifras, en formatos Word, Excel y PDF

En un mes, los días de la semana se repiten cada siete días. Si hoy es jueves, en 7 días nuevamente será jueves.

¿Qué tienen en común los días que caen en domingo? Exacto: son múltiplo de 7, es decir: al dividirlos entre 7, el resto es 0. Por tanto, podemos escribirlos como 0 módulo 7.

Si nos fijamos en la primera columna, por ejemplo, tenemos que son 1 módulo 7, pues R=1 si dividimos cualquiera de ellos entre 7. Por ejemplo: 1/7 tendría C=0, R=1; 8/7 tendría C=1, R=1;…

Tiempo: los días.

Un días tiene 24 horas. A veces tenemos que resolver un problema donde necesitamos calcular la duración de un suceso, y si es mayor a un día, nos será muy útil la aritmética modular. Si sabemos que a las 17 h un satélite está justo en nuestra vertical, y que tarda 80 horas en volver a ese punto, ¿a qué hora ocurrirá?

Podríamos pensar que: 17 h + 80 h = 17 h + 72 h + 8 h = {3 días = 72 h} = 17 h + 8 h = 25 h = 24 h + 1 h = {1 día = 24 h} = 1 h

Con la aritmética modular, simplemente así: 17 h + 80 h = 97 h; 97:24 = 4, R=1; 97 = 1 módulo 24.

Tiempo: las horas.

Podríamos decir que usamos tanto las congruencias que somos bilingües, pues entendemos perfectamente que las 14 horas son las 2 de la tarde, o que las 21 horas son las 9. En este caso, el ciclo de tiempo es de 12 horas, por lo que consideramos módulo 12, expresándolo así: 14 = 2 módulo 12, 21 = 9 módulo 12.

Seguridad: DNI.

No sólo en ciclos temporales podemos usar las congruencias. Se aplica cuando necesitamos generar un dígito verificador o de comprobación.

En el caso del DNI, se utilizan 23 letras, por lo que se emplea el módulo 23. Se divide el número del DNI, y su resto o residuo corresponderá a una letra preasignada.

Aquí os dejo enlace a una calculadora, donde podéis comprobar qué letra se asigna a cada resto R.

Seguridad: cuenta bancaria.

De igual forma, el número asignado a cada cuenta bancaria cuenta con dígito verificador. En este caso, en lugar de asignar una letra se utilizan las 2 últimas cifras. Esto ya lo sabías, ¿verdad?

Seguridad: ISBN.

¿Te has fijado en el código numérico de un libro? Es como una matrícula que lleva cada obra, y se compone actualmente de 13 cifras. Basado en el módulo 10, el último carácter es el dígito verificador. En este caso, podría ser una cifra o una letra. Precisamente por eso en algunas publicaciones aparece separado ligeramente de las cifras anteriores (por un espacio o un guión).

El libro que estoy leyendo estos días tiene el siguiente código: 978 84 080 0534 6. Qué indica:

ISBN: 978 (número internacional estándar del libro)

País: 84 (España)

Editorial: 080 (editorial Planeta)

Libro: 0534 (Geometría para turistas)

Dígito de control: 6 (módulo 10)

Criterios de divisibilidad: 2.

Al utilizar el sistema decimal, nos fijamos en módulo 10. Teniendo en cuenta que 10 = 2 · 5, al descomponer cualquier número de varias cifras podemos comprobar que solo debemos fijarnos en la última cifra para verificar que es divisible entre 2 o entre 5. Fíjate:

2 375 = 2 000 + 300 + 70 + 5

Són múltiplo de 10 (es decir, de 2 y de 5) 2 000, 300 y 70, luego para verificar si es divisible entre 2 basta fijarnos en la última cifra, las unidades. En este caso, es el 5. Luego 2 375 no es divisible entre 2, ya que no lo es el 5 (1 módulo 2).

Simplemente cambiando la última cifra por una par ya tendríamos un número que cumpliera con el criterio de divisibilidad del 2. Por ejemplo, el 2 378 (0 módulo 2).

Criterios de divisibilidad: 5.

Como 10 = 2 · 5, ocurriría como en el caso anterior: fijémonos en la última cifra.

2 375 = 2 000 + 300 + 70 + 5

Son múltiplo de 5 los tres primeros sumandos: 2 000, 300 y 70. ¿Qu´é ocurre con la última cifra? En este caso, el 5 es múltiplo de 5, luego 2 375 = 0 módulo 5 (es divisible entre 5).

Criterios de divisibilidad: 3.

Veamos qué ocurre al estudiar si un número es divisible entre 3. Recordemos que lo será uno de cada 3 cíclicamente.

123 = 100 + 20 + 3

En este caso, tenemos que estudiar por separado son divisibles entre 3:

  • 100 / 3 = 33, R = 1 –> 100 = 1 módulo 3
  • 20 / 3 = 6, R = 2 –> 20 = 2 módulo 3
  • 3 / 3 = 1, R 0 –> 3 = 0 módulo 3

Por cierto: en la calculadora se puede obtener fácilmente el cociente y el resto.

Podemos escribir entonces así:

123 = 100 + 20 + 3 = 1 módulo 3 + 2 módulo 3 + 0 módulo 3 = (1 + 2 + 0) módulo 3 = 3 módulo 3 = 0 módulo 3.

Acabamos de deducir que para que un número sea divisible entre 3 la suma de sus cifras debe serlo.

Criterios de divisibilidad: 9 o la prueba del 9.

Análogamente comprobaríamos el criterio del 9.

Lo que aquí vamos a ver realmente es la conocida como prueba del 9, que se utilizaba cuando las cuentas se hacían sin ayuda tecnológica para comprobarlas.

Supongamos que tenemos que realizar una larga suma (aunque en el ejemplo lo haremos más sencillo, y ya te dejo practicar con los que tú prefieras). Si A + B = C, y está correctamente hecha la operación, la suma de las cifras de A y de B será igual a la suma de las cifras de C. Vamos a verlo con este ejemplo: 123 + 25 = 148.

A: 1 + 2 + 3 = 6

B: 2 + 5 = 7

6 + 7 = 13 ; 1 + 3 = 4 —> las cifras de A y B suman 13, que a su vez suman 4.

C: 1 + 4 + 8 = 13 ; 1 + 3 = 4 –> las cifras de C suman 13, que a su vez suman 4, como queríamos comprobar.

La prueba del 9 es válida también para producto. Así, si M · N = P, la suma de las cifras de M por la suma de las cifras de N también será igual a la suma de las cifras de P, por gracia de la aritmética modular. Para los mismos números del ejemplo anterior, tendríamos que 123 · 25 = 3 075.

1 + 2 + 3 = 6

2 + 5 = 7

6 · 7 = 42 ; 4 + 2 = 6 –> el producto de la suma de sus cifras es 42, que a su vez suma 6.

3 + 0 + 7 + 5 = 15 ; 1 + 5 = 6 –> las cifras de P suman 15, que a su vez suman 6, como queríamos comprobar.

Criterios de divisibilidad: 9 o la fecha del cumpleaños.

¡Pero aún hay más con el criterio del 9!

Toma las 8 cifras de la fecha de cualquier cumpleaños, y réstale un número con las mismas cifras, pero en otro orden (¡el que quieras!). Si sumas las cifras del número obtenido obtienes… ¡un múltiplo de 9!

¡Vamos a verlo con la fecha del nacimiento de la matemática Maryam Mirzakhani, medalla Fields 2014: el 12 de mayo de 1 977:

12051977 – 11259770 = 792207 –> 7 + 9 + 2 + 2 + 0 + 7 = 27 –> 2 + 7 = 9

¡Vaya! ¡Cuántos buenos momentos pueden crearse con el criterio de divisibilidad del 9! ¡Qué interesante la aritmética modular, verdad? Pues te diré algo: esto no es nada. Te invito a profundizar en las apasionantes congruencias.

¡Hasta pronto!

Paradojas lógicas (Martin Gardner)

1. Paradoja del mentiroso.

Se trata de variantes de la siguiente afirmación: «Esta frase es falsa» (Grelling).

Supongamos que dijeran:

Esta frase consta de siete palabras.

Podemos contar en ella solo seis palabras, por lo que no sería cierta. Si la corrigiéramos, tendríamos esta otra:

Esta frase no consta de siete palabras.

Pero ahora sí tiene siete palabras, luego se trata de una paradoja, puesto que siendo frases que parecen verdaderas, en realidad son falsas ambas.

2. Paradoja de Platón y Sócrates.

Se trata de un diálogo entre ambos pensadores:

Platón: La próxima declaración de Sócrates será falsa.

Sócrates: Platón ha dicho la verdad.

¿Cómo puede ser esto?

3. Paradojas circulares (o bucles).

Seguramente, habréis escuchado alguna que otra paradoja circular. Son aquellas en las que una vez iniciada la idea ésta no parece tener fin. Algunas las encontramos en forma de canción infantil, incluso.

¿Qué fue antes, el huevo o la gallina?

En el libro de Alicia en el país de las maravillas encontramos esta otra:

Alicia: Estoy soñando con el Rey Rojo. También él duerme y sueña conmigo, que estoy soñando con él, quien sueña conmigo…

4. Paradoja del Quijote.

Esta paradoja se encuentra en el segundo tomo de la obra de Miguel de Cervantes.

Había un guardia apostado en un puente en el que había una horca. El hombre preguntaba a cada visitante:

¿Para qué viene?

Si contesta la verdad, pasa. Si miente, es ahorcado.

Cierto día llegó un visitante y dijo:

¡He venido aquí para ser ahorcado!

Entonces, si no lo ahorcan, habría mentido. Pero si lo ahorcan, habría dicho la verdad y no debería ser ahorcado.

Sancho Panza, La Habana, Estatua, Parque
Sancho Panza

¿Cómo se resolvió la situación?

El guardia no sabía qué hacer, así que pidió audiencia al gobernador de la ínsula para que le indicara qué hacer. Sancho Panza decidió ser clemente, pues en cualquier caso vulneraría la ley.

5. Paradoja de Russell.

Sea W el conjunto de todos los conjuntos C que no se pertenecen así mismos, o sea, C pertenece a W solo cuando C no pertenece a C. Pero entonces se tiene simultáneamente que W se pertenece y no se pertenece a sí mismo.

La siguiente paradoja es una versión de esta paradoja:

6. Paradoja del barbero (Russell).

El barbero afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos. Averiguar si el barbero se afeita a sí mismo.

La aparición de las paradojas lógicas de Russell a principios de siglo XX produjo una crisis importante, dejando claro que se debían revisar los fundamentos de las matemáticas.

Frege acababa de entregar a imprenta su obra «Los fundamentos de la aritmética» (1902), donde creía haber desarrollado la teoría de conjuntos de forma coherente, capaz de ser punto de partida de otras teorías matemáticas. Fue entonces que Russell le escribió acerca de las paradojas, donde conjuntos en apariencia bien formados eran contradictorios.

Frege añadió un apéndice a su obra, que empezaba así: «Difícilmente puede un científico tener que afrontar nada más indeseable que ver hundirse los cimientos justamente cuando da fin a su obra. Tal es la situación en que me encuentro tras la carta de Mr. Bertrand Russell«.

Una bellísima página de la historia de las matemáticas, ¿verdad?



«¡Ajá! Paradojas que hacen pensar», de Martin Gardner.

Martin Gardner (1914 – 2010) fue un filósofo y divulgador estadounidense que escribió una veintena de libros sobre matemáticas de gran éxito como «¡Ajá! Inspiración», «Carnaval matemático», «El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos» o «¡Ajá! Paradojas que hacen pensar».

Tipos de paradojas:

  1. Afirmaciones que parecen falsas, aunque en realidad son verdaderas.
  2. Afirmaciones que parecen verdaderas, pero en realidad son falsas.
  3. Cadenas de razonamientos que conducen a contradocciones lógicas (falacias).
  4. Declaraciones cuya veracidad o falsedad es indecible.

El autor expone algunas paradojas agrupadas en los siguientes capítulos:

  1. Lógica.
  2. Números.
  3. Geometría.
  4. Probabilidad.
  5. Estadística.
  6. Tiempo.

Por bloques, en sucesivas entradas iré recogiendo las que más me han gustado. Espero que os resulten interesantes.

Napoleón y las matemáticas

Napoleón en la historia.

Seguramente, sabías que:

  • Napoleón Bonaparte fue el autocoronado emperador de Francia.
  • Fue un gran estratega militar.
  • Invadió numerosos países europeos.
  • Impuso a su hermano José como rey de España (conocido también por el pueblo como Pepe Botella).
  • Fracasó estrepitosamente en su campaña en Rusia.
  • No estuvo a la altura de la flota británica, capitaneada por Nelson.
  • España derrotó a su ejército en la batalla de Bailén (Jaén).
  • Perdió en la costa gaditana frente a los ingleses (batalla de Trafalgar).
  • O que murió en 1821, exiliado en la isla de Santa Elena (África).

Como ya habrás imaginado, hoy voy a contar algunos detalles de la importancia que en su vida tuvieron las matemáticas en particular, y la ciencia en general.

Napoleón Bonaparte en la Escuela Militar.

Napoleón nació en la isla de Córcega poco después de que pasara a ser territorio francés, en 1769. No siendo precisamente holgada la situación familiar, su padre lo trasladó a una Escuela Militar en la Francia continental cuando tenía unos diez años, junto a su hermano José. En ese momento apenas hablaban el francés, dificultando la integración entre sus compañeros. Centrado así en los libros, destacó desde joven en las matem´áticas.

Tras preparar la prueba de acceso para continuar sus estudios en el Real Cuerpo de Artillería, Laplace se sorprendió al aprobar a un joven Napoleón de tan solo 16 años de edad.

Las matem´áticas resultaban fundamentales en la formación de los militares, puesto que debían calcular trayectorias de proyectiles o la ubicación de los cañones. Precisamente Napoleón destacó por la distribución de la artillería y la ejecución, obteniendo éxitos que le ayudaron en su rápido ascenso, pasando a la historia como un gran estratega y estadista.

En la Escuela Militar asistió a las clases de grandes matemáticos de su tiempo. De hecho, dos de ellos tienen el honor de estar entre los 72 sabios de la torre Eiffel: Laplace y Lagrange.

Napoleón y las matemáticas.
Elaboración propia.

Pierre Simon Laplace.

Laplace, de origen humilde, estudio gracias al apoyo de sus vecinos, que aprecieron su talento desde su infancia. Considerado entonces un sabio, se decía que podía hablar con rigor de cualquier tema científico (algunos lo denominaron el Newton francés).

Laplace fue tachado de apoyar a quien ostentara el poder, independientemente de su ideología política (vamos, que era un chaquetero). Él se defendió diciendo que lo hacía para lograr dedicarse a lo que le interesaba: su labor científica. De hecho, mientras Napoleón estuvo en el poder le dedicó sus publicaciones con las palabras «a Napoleón el Grande», y que se encargó de borrar cuando llegó la restauración borbónica.

En cualquier caso, ambos mandatarios le correspondieron y apreciaron, pues fue Ministro de Interior y senador con Napoleón, y Luis XVIII lo nombró Marqués de Laplace y Par de Francia.

Laplace fue también profesor de Fourier, otro matemático importante en la vida de Napoleón.

Joseph Louis Lagrange.

Lagrange también logró que su nombre estuviera grabado entre los 72 sabios de la torre Eifeel.

Profesor y tutor de Fourier, también fue profesor de Napoleón en la Escuela Militar.

Una de sus grandes aportaciones a la ciencia fue la elaboración del sistema métrico.

Luis Monge.

Monge fue profesor de Napoleón en la Escuela Militar, donde impartía clases de Geometría descriptiva (que por aquel entonces era secreto militar). A Monge le debemos el sistema diédrico, que basa la representación en los planos de proyección.

Napoleón era un apasionado de la Geometría, de la que conversaban a menudo, llegando a ser amigo personal. Napoleón le nombró conde y senador.

Formó parte del destacamento científico de la Campaña de Egipto.

Jean Baptiste Fourier.

Discípulo de Laplace y Lagrange, como ellos, su nombre está escrito con letras de 60 cm de alto en la torre Eiffel.

Formó parte del destacamento científico de la Campaña de Egipto. Allí quedó muy impresionado por el calor del desierto. De regreso a Francia trató de replicar las condiciones con la caldera de su casa y abrigándose para estudiar su transmisión. Fue así que nos legó la expresión matemática de la transmisión del calor.

Y es que, como Fourier dijo, «el estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos».

Campaña de Egipto.

En su afán conquistador, Napoleón decidió realizar una campaña en Egipto y Siria, un territorio estratégico (parece que de casi toda la historia). Partieron 30 000 soldados y 167 científicos en 400 barcos hasta la ciudad de Alejandría. En el destacamento había científicos, ingenieros, médicos y eruditos. Al frente estaba el barón Dominique Vivant Denont, que más tarde sería el director del Museo del Louvre.

El equipo de científicos estudió la posibilidad de conectar el mar Mediterráneo y el mar Rojo desde Suez, que se realizó ya en tiempos de Napoleón III.

Mientras cavaban trincheras en la zona portuaria de Rosetta, los soldados encontraron una piedra de basalto de más de un metro de longitud con una inscripción grabada. Realizaron varias copias, que se llevaron a Francia. Al rendirse los franceses frente al ejercito británico, la piedra Rosetta cambió de manos, conservándose desde entonces en el Museo Británico.

La sentencia del rey Ptolomeo que recoge está grabada en tres lenguas: jeroglífico, demótico y grieto, permitiendo la traducción posterior de inscripciones egipcias que hasta entonces fue imposible.

Lorenzo Mascheroni.

Mascheroni fue un matemático italiano que había publicado un libro sobre Geometría dedicado al compás. El estudio de su obra llevó a Napoleón a iniciar conversaciones sobre la resolución de problemas, que además explicaba a Lagrance y a Laplace.

Napoleón conoció personalmente a Mascheroni. Su admiración mutua llevó a que el emperador promoviera la publicación de su obra en francés, y al matemático a dedicarle un teorema.

Teorema de Napoleón.

Si sobre los lados de un triángulo, hacia su exterior, se construyen triángulos equiláteros y se unen sus centros se obtiene un triángulo equilátero.

Este teorema se atribuye a Mascheroni.

Si quieres ver el teorema de Napoleón, puedes ver esta construcción en Geogebra de José Luis Muñoz Casado.

Puntos de Napoleón: N1, N2.

Si sobre la construcción del teorema de Napoleón se une cada vértice del triángulo con el centro del triángulo equilátero construido sobre el lado opuesto, se cortan en un punto de Napoleón denominado N1.

Si en lugar de construir los triángulos equiláteros hacia el exterior del triángulo inicial se hace hacia el interior, análogamente uniendo sus centros con los vértices opuestos a cada lado se obtiene el punto de Napoleón denominado N2.

Problema de Napoleón.

Se trata de una construcción con compás atribuida a Napoleón.

Dado un círculo y su centro, dividirlo en 4 arcos iguales (o bien, hallar los cuatro vértices de un cuadrado inscrito en la circunferencia).

Principales fuentes consultadas: