Qué vamos a hacer hoy

¿Alguna vez has observado lo interiorizado que tenemos que las 14 horas equivale a decir que son las 2 de la tarde? ¿O que si este mes el día 7 será martes, también lo serán el 14, el 21 y el 28? ¿O que si un número es múltiplo de 3, también lo será la suma de sus cifras? ¿Qué tienen en común todas estas «casualidades»?

Estudiar estas congruencias es objeto de la aritmética modular, basada en el estudio del resto o residuo (R) de la división. Si, por ejemplo, dividimos 6 entre 2, el cociente es 3, y su resto, 0 (R=0), luego podemos expresarlo como que 6 es 0 módulo 2 (el residuo es 0 al dividirlo entre 2). Si dividimos 7 entre 2, en este caso el resto sería 1, luego 7 = 1 módulo 2. Así, podríamos decir que todos los números pares se podrían escribir como 0 módulo 2, puesto que el resto al dividirlos entre 2 siempre sería 0. Análogamente, todos los números impares se podrían escribir como 1 módulo 2.

Encontramos numerosos recursos donde poder conocer la aritmética modular, como:

• Los números: de los naturales a los complejos (2010), de Graña y otros.
• Aritmética modular: otra forma de operar (video), del canal LasMatematicas.es, del Dr. Juan Medina Molina.
• ¿Qué es la aritmética modular?, de Khan Academy.

En esta reseña únicamente voy a apuntar algunos ejemplos de sus aplicaciones, tan cotidianas como bellas, y de las que estuvimos hablando recientemente en el espacio dedicado a las matemáticas en el programa de radio «La noche paradigmática».

Tiempo: los meses.

Tomemos un mes cualquiera del calendario. Por ejemplo, noviembre de 2021.

En un mes, los días de la semana se repiten cada siete días. Si hoy es jueves, en 7 días nuevamente será jueves.

¿Qué tienen en común los días que caen en domingo? Exacto: son múltiplo de 7, es decir: al dividirlos entre 7, el resto es 0. Por tanto, podemos escribirlos como 0 módulo 7.

Si nos fijamos en la primera columna, por ejemplo, tenemos que son 1 módulo 7, pues R=1 si dividimos cualquiera de ellos entre 7. Por ejemplo: 1/7 tendría C=0, R=1; 8/7 tendría C=1, R=1;…

Tiempo: los días.

Un días tiene 24 horas. A veces tenemos que resolver un problema donde necesitamos calcular la duración de un suceso, y si es mayor a un día, nos será muy útil la aritmética modular. Si sabemos que a las 17 h un satélite está justo en nuestra vertical, y que tarda 80 horas en volver a ese punto, ¿a qué hora ocurrirá?

Podríamos pensar que: 17 h + 80 h = 17 h + 72 h + 8 h = {3 días = 72 h} = 17 h + 8 h = 25 h = 24 h + 1 h = {1 día = 24 h} = 1 h

Con la aritmética modular, simplemente así: 17 h + 80 h = 97 h; 97:24 = 4, R=1; 97 = 1 módulo 24.

Tiempo: las horas.

Podríamos decir que usamos tanto las congruencias que somos bilingües, pues entendemos perfectamente que las 14 horas son las 2 de la tarde, o que las 21 horas son las 9. En este caso, el ciclo de tiempo es de 12 horas, por lo que consideramos módulo 12, expresándolo así: 14 = 2 módulo 12, 21 = 9 módulo 12.

Seguridad: DNI.

No sólo en ciclos temporales podemos usar las congruencias. Se aplica cuando necesitamos generar un dígito verificador o de comprobación.

En el caso del DNI, se utilizan 23 letras, por lo que se emplea el módulo 23. Se divide el número del DNI, y su resto o residuo corresponderá a una letra preasignada.

Aquí os dejo enlace a una calculadora, donde podéis comprobar qué letra se asigna a cada resto R.

Seguridad: cuenta bancaria.

De igual forma, el número asignado a cada cuenta bancaria cuenta con dígito verificador. En este caso, en lugar de asignar una letra se utilizan las 2 últimas cifras. Esto ya lo sabías, ¿verdad?

Seguridad: ISBN.

¿Te has fijado en el código numérico de un libro? Es como una matrícula que lleva cada obra, y se compone actualmente de 13 cifras. Basado en el módulo 10, el último carácter es el dígito verificador. En este caso, podría ser una cifra o una letra. Precisamente por eso en algunas publicaciones aparece separado ligeramente de las cifras anteriores (por un espacio o un guión).

El libro que estoy leyendo estos días tiene el siguiente código: 978 84 080 0534 6. Qué indica:

ISBN: 978 (número internacional estándar del libro)

País: 84 (España)

Editorial: 080 (editorial Planeta)

Libro: 0534 (Geometría para turistas)

Dígito de control: 6 (módulo 10)

Criterios de divisibilidad: 2.

Al utilizar el sistema decimal, nos fijamos en módulo 10. Teniendo en cuenta que 10 = 2 · 5, al descomponer cualquier número de varias cifras podemos comprobar que solo debemos fijarnos en la última cifra para verificar que es divisible entre 2 o entre 5. Fíjate:

2 375 = 2 000 + 300 + 70 + 5

Són múltiplo de 10 (es decir, de 2 y de 5) 2 000, 300 y 70, luego para verificar si es divisible entre 2 basta fijarnos en la última cifra, las unidades. En este caso, es el 5. Luego 2 375 no es divisible entre 2, ya que no lo es el 5 (1 módulo 2).

Simplemente cambiando la última cifra por una par ya tendríamos un número que cumpliera con el criterio de divisibilidad del 2. Por ejemplo, el 2 378 (0 módulo 2).

Criterios de divisibilidad: 5.

Como 10 = 2 · 5, ocurriría como en el caso anterior: fijémonos en la última cifra.

2 375 = 2 000 + 300 + 70 + 5

Son múltiplo de 5 los tres primeros sumandos: 2 000, 300 y 70. ¿Qu´é ocurre con la última cifra? En este caso, el 5 es múltiplo de 5, luego 2 375 = 0 módulo 5 (es divisible entre 5).

Criterios de divisibilidad: 3.

Veamos qué ocurre al estudiar si un número es divisible entre 3. Recordemos que lo será uno de cada 3 cíclicamente.

123 = 100 + 20 + 3

En este caso, tenemos que estudiar por separado son divisibles entre 3:

• 100 / 3 = 33, R = 1 –> 100 = 1 módulo 3
• 20 / 3 = 6, R = 2 –> 20 = 2 módulo 3
• 3 / 3 = 1, R 0 –> 3 = 0 módulo 3

Por cierto: en la calculadora se puede obtener fácilmente el cociente y el resto.

Podemos escribir entonces así:

123 = 100 + 20 + 3 = 1 módulo 3 + 2 módulo 3 + 0 módulo 3 = (1 + 2 + 0) módulo 3 = 3 módulo 3 = 0 módulo 3.

Acabamos de deducir que para que un número sea divisible entre 3 la suma de sus cifras debe serlo.

Criterios de divisibilidad: 9 o la prueba del 9.

Análogamente comprobaríamos el criterio del 9.

Lo que aquí vamos a ver realmente es la conocida como prueba del 9, que se utilizaba cuando las cuentas se hacían sin ayuda tecnológica para comprobarlas.

Supongamos que tenemos que realizar una larga suma (aunque en el ejemplo lo haremos más sencillo, y ya te dejo practicar con los que tú prefieras). Si A + B = C, y está correctamente hecha la operación, la suma de las cifras de A y de B será igual a la suma de las cifras de C. Vamos a verlo con este ejemplo: 123 + 25 = 148.

A: 1 + 2 + 3 = 6

B: 2 + 5 = 7

6 + 7 = 13 ; 1 + 3 = 4 —> las cifras de A y B suman 13, que a su vez suman 4.

C: 1 + 4 + 8 = 13 ; 1 + 3 = 4 –> las cifras de C suman 13, que a su vez suman 4, como queríamos comprobar.

La prueba del 9 es válida también para producto. Así, si M · N = P, la suma de las cifras de M por la suma de las cifras de N también será igual a la suma de las cifras de P, por gracia de la aritmética modular. Para los mismos números del ejemplo anterior, tendríamos que 123 · 25 = 3 075.

1 + 2 + 3 = 6

2 + 5 = 7

6 · 7 = 42 ; 4 + 2 = 6 –> el producto de la suma de sus cifras es 42, que a su vez suma 6.

3 + 0 + 7 + 5 = 15 ; 1 + 5 = 6 –> las cifras de P suman 15, que a su vez suman 6, como queríamos comprobar.

Criterios de divisibilidad: 9 o la fecha del cumpleaños.

¡Pero aún hay más con el criterio del 9!

Toma las 8 cifras de la fecha de cualquier cumpleaños, y réstale un número con las mismas cifras, pero en otro orden (¡el que quieras!). Si sumas las cifras del número obtenido obtienes… ¡un múltiplo de 9!

¡Vamos a verlo con la fecha del nacimiento de la matemática Maryam Mirzakhani, medalla Fields 2014: el 12 de mayo de 1 977:

12051977 – 11259770 = 792207 –> 7 + 9 + 2 + 2 + 0 + 7 = 27 –> 2 + 7 = 9

¡Vaya! ¡Cuántos buenos momentos pueden crearse con el criterio de divisibilidad del 9! ¡Qué interesante la aritmética modular, verdad? Pues te diré algo: esto no es nada. Te invito a profundizar en las apasionantes congruencias.

¡Hasta pronto!