Oda a los números, de Pablo Neruda

Nos pasamos la infancia

contando piedras, plantas,

dedos, arenas, dientes,

la juventud contando

pétalos, cabelleras.

Contamos los colores, los años,

las vidas y los besos,

en el campo los bueyes,

en el mar las olas.

Fuimos empapelando el mundo

con números y nombres,

pero las cosas existían,

se fugaban del número,

enloquecían en sus cantidades,

se evaporaban dejando su olor o su recuerdo,

y quedaban los números vacíos.

El problema de la forma de la Tierra

1. La Tierra es plana.

Ya desde la antigüedad se especulaba sobre la forma del lugar que habitamos: la Tierra. Se empezaron a formular distintas propuestas de caracter científico que debían de verificarse.

Los primeros intentos de resolver este problema generaron una hipótesis que aún tiene adeptos: la Tierra es plana.

2. La Tierra es esférica.

Desde el siglo V a.C. tiene bastante aceptación la idea de que la Tierra es esférica. Bastaba observar a los barcos de vela desaparecer poco a poco en el horizonte. Restaba determinar cuál era su tamaño.

Hasta nuestro tiempo, a través de referencias posteriores a su obra de Ptolomeo de Alejandría en el siglo II, nos ha llegado parte del trabajo en este sentido de Eratóstenes de Cirene (siglo III a.C.), como su «tratado sobre la medida de la Tierra», el más preciso de su época.

Medición de Eratóstenes.

Si la Tierra es una esfera, sobre dos puntos de un mismo meridiano (semicircunferencia imaginaria que rodea el planeta pasando por los polos) la luz del Sol produce dos sombras diferentes. Eratóstenes conocía la existencia de un pozo de agua en la ciudad de Siena, cercana a Assuan, donde al medidía del solsticio de verano los rayos del Sol incidían en vertical sobre su fondo (es decir: perpendiculares a la superficie de la Tierra). Entonces, los objetos a esa hora no producen sombra en ese lugar y momento. Se desplazó a la ciudad de Alejandría, situada en el mismo meridiano, para poder medir la sombra que proyectan los objetos cuando el Sol está en el punto más alto de su trayectoria en el solsticio de verano, y así determinar el radio de la esfera terrestre.

A partir de la medida de la torre de Alejandría y su sombra determinó el ángulo (7,2º). Por otro lado, se sabía que la distancia entre ambas ciudades era de 5 000 estadios (unidad de longitud de la época), por lo que para la circunferencia completa (360º) tendríamos 250 000 estadios. La equivalencia al sistema métrico actual nos da un valor de unos 40 000 km, por lo que el radio terrestre mediría en las unidades actuales 6 366 km.

Pues bien, según mediciones actuales, el radio de la Tierra se establece en 6 371 km, es decir: el error de los cálculos de Eratóstenes, del siglo II a.C., sería de 5 km (0,08 %).

Aristarco de Samos, unos años antes que Eratóstenes ya había publicado su tratado acerca de las distancias y tamaños del Sol y de la Luna, y cuya teoría heliocéntrica (la primera que nos consta) fue citada posteriormente por Arquímedes y Plutarco.

3. La Tierra es un esferoide alargado por los polos.

Sin embargo, posteriormente los científicos empezaron a cuestionar la esfericidad de la Tierra, puesto que diversos experimentos hacían pensar que la gravedad variaba según la latitud en que se realizaran.

La primera propuesta llegaría en el siglo XVII con René Descartes y su teoría de los vórtices. Imaginó un planeta alargado por los polos. En lugar de movimientos circulares propuso un mecanismo de impulsión. Le apoyaron científicos de su época como Leibniz y los hermanos Bernouilli.

Ya en el siglo XVIII, Isaac Newton demostró que si los planetas estuvieran impulsados por vórtices, sus velocidades en el afelio (el punto más alejado del Sol en su trayectoria) serían mayores que en el perihelio (el más cercano), contradiciendo las leyes de Kepler (siglo XVII). Por tanto, la Tierra debía de estar más bien achatada en los polos.

Mientras tanto, los Cassini, a cargo del Observatorio Astronómico de Paris, pretendían determinar la forma y tamaño de la Tierra. Realizaron diversas mediciones a lo largo de un meridiano en puntos de su territorio (Francia), concluyendo que el planeta era un esferoide alargado por los polos (se sospecha que el error que cometieron podría deberse a la selección de puntos (demasiado cercanos), la poca precisión de los aparatos utilizados o un error de cálculo).

4. La Tierra es un esferoide achatado por los polos.

Para poder resolver la discrepancia entre Newton y el observatorio francés, se pidió la intervención de la Academia de Ciencias de París y la Secretaría de Navegación. Idearon realizar las mediciones en un punto del ecuador de la Tierra y otro en los polos. Así, una expedición fue a Laponia y otra a Ecuador (por aquel entonces, terrotorio de la Corona de España, por lo que pudieron participar dos españoles: Jorge Juan y Santacilia y Antonio de Ulloa).

En concreto, cada expedición midió la longitud del arco de un grado sobre un meridiano, obteniendo las siguientes medidas:

ExpediciónLongitud
Ecuador110,64 km
Paris111,19 km
Laponia111,946 km

Por tanto, confirmando los cálculos de Newton, la Tierra es un esferoide achatado por los polos.

5. ¿Qué repercusión social tuvo?

  • Optimización de rutas marítimas.
  • Unificación de unidades de medida existentes: Joseph Louis Lagrange creó el Comité de Pesas y Medidas, adoptando el Sistema Métrico Decimal y tomando como patrón universal el metro (la diezmillonésima parte de la longitud del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por Paris).

6. Referencias bibliográficas.

El problema de los puentes de Königsberg. Teoría de grafos.

Leonhard Euler demostró la imposibilidad de recorrer los siete puentes con un paseo continuo sin volver a recorrer dos veces el mismo puente (1736). La resolución del problema le dio fama y supuso el nacimiento de la teoría de grafos. El auge de esta teoría se debe a que transforma problemas de la vida real en problemas abstractos utilizando líneas y puntos.

Esquema de los puentes de Königsberg.

Un grafo es un conjunto de vértices y aristas o arcos. Una sucesión de puntos (no necesariamente distintos) es un sendero o camino. Su longitud es el número de aristas que tiene.

Teorema de Euler: un grafo plano y conexo verifica que V – A + R = 2, donde: V es el número de vértices; A, el número de aristas o arcos; y R, el de regiones que delimita (siendo una de ellas la región infinita).

¿Existe alguna forma de pasear por la ciudad cruzando una sola vez todos los puentes y regresando al origen?

El grafo del problema de los puentes de Königsberg.

Para recorrer una sola vez cada arista del grafo, del vértice de salida debe partir una sola arista, o si se vuelve, también se sale de nuevo (cada vez que se pasa por el vértice se suman dos aristas), siendo par + 1 = impar.

Los vértices intermedios deben tener un número par de aristas (una de entrada y otra de salida). Si es así, y el inicio es distinto al fin, tenemos un camino euleriano.

Si se parte del punto en que finaliza, tenemos en ese punto también un número par de aristas: ciclo euleriano (geoconexo con todos los vértices pares).

Existe un sendero cíclico S que pasa por todos los vértices y que recorre una sola vez todos los arcos de un grafo G si y solo si el grafo es conexo y todos los nudos son pares (teorema de Euler).

El problema de Hamilton.

En 1859, William Rowan Hamilton planteó un juego en el que hay que recorrer todos los vértices de un dodecaedro sin repetir los vértices y volviendo al punto de partida.

Se aplica a la optimización de rutas. Se puede resolver en términos de distancia o de coste.

Gustav Kirkhoff, utilizando la Ley de Ohm, lo aplicó a problemas de redes eléctricas (grafo no dirigido, conexo y sin ciclos).

¿Cómo podemos colorear un mapa con el mínimo número de colores, iluminando países limítrofes de distinto color?

Se resolvió gracias a los ordenadores en 1976 (Kenneth Appel y Wolfgang Haken): problema de los cuatro colores.

Si un grafo es euleriano, el mapa de las caras es bicoloreable.

Aplicaciones de la teoría de grafos:

  • Optimización de recursos.
  • Ruta óptima: asfaltado de calles, recogida de basuras, reparto de cartas, rutas de navegadores…
  • Algoritmos: investigación operativa, computadoras, robótica…
  • Traductores de idiomas.
  • Sociología.
  • Orientar tráfico urbano.
  • Gestión de proyectos (PERT).

Principales fuentes consultadas:

Historia de las Matemáticas en la Península Ibérica, de María Victoria Veguín Casas

Entender la historia de las matemáticas es entender el desarrollo de las diferentes civilizaciones que han poblado la Tierra. Encontramos precedentes de la contextualización en nuestro entorno en «Historia de las matemáticas en España», de Francisco Vera Fernández de Córdoba (1933). Los estudios de la autora a principios del siglo XXI culminaron con esta obra, que recoge textos e investigaciones realizadas durante el siglo XX.

Siguiendo la secuencia cronológica, Veguín Casas revisa la evolución del pensamiento matemático desde la prehistoria hasta el siglo XV. Incluye una capítulo muy interesante sobre las aritméticas mercantiles en la Península Ibérica y otro dedicado a la contribución en la matemática europea.

Historia de las Matemáticas en la Península Ibérica. Desde la prehistoria al siglo XV. María Victoria Veguín Casas. Editorial Reverté.

Los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia

Con este sugerente subtítulo nos dejó Stephen Hawking esta obra, «Dios creó los números», donde revisa las obras que propiciaron el desarrollo humano a través de las matemáticas desde la antigüedad.

Realiza una rigurosa revisión no solo de las aportaciones que nos legaron los autores seleccionados, sino de su vida y obra.

Quizás hayas leído referencias en publicaciones posteriores sobre «Los elementos», de Euclides, la segunda obra más vendida de la historia. Aquí tendrás la oportunidad de leer un extracto de lo que nos ha llegado a nuestro tiempo. Directamente podrás leer sus definiciones, postulados y proposiciones, añadiendo los enriquecedores comentarios de Hawking.

Con más de 1 000 páginas, recomiendo la versión impresa para poder leerlo de principio a fin o como manual de consulta.

¿Qué es la belleza? Abre el libro y podrás disfrutarla en cada página.

La matemática es más que una herramienta y un lenguaje para la ciencia. También es principio y fin en sí misma, influyendo en nuestra visión del mundo a lo largo del tiempo. Así, hemos podido incluso mecanizar en parte el pensamiento, en la actual computación digital. Antes incluso de su desarrollo, ya Alan Turing anticipó su potencia y sus límites.

Durante 25 siglos las matemáticas han evolucionado, revolucionando el pensamiento matemático. Ya en el antiguo Egipto se hizo una aproximación de la relación entre un círculo y un cuadrado, obteniendo una aproximación del número pi con un 0.6 % de error (porque lo expresaban como una fracción, un número racional). En la antigua Grecia ya se sabía que algunos números no podían escribirse como una fracción, aunque no se pudo demostrar su irracionalidad hasta el siglo XVIII.

En Grecia se partía de conceptos para desarrollar los conocimientos. Euclides recopiló y sistematizó todo el conocimiento de su época (siglo III aC) en una colección de trece tomos, «Los elementos». La mayoría está dedicada a la aritmética. El tomo IV, a la geometría.

Hoy en día, como en la escuela que fundó en Alejandría, seguimos hablando en primaria y secundaria de la teoría de la divisibilidad (primos, compuestos, múltiplos, divisores…), que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, o del teorema de Pitágoras (siglo V aC, enunciado en términos geométricos (no numéricos)). Es la llamada «geometría euclidiana», para diferenciarla de la no euclidiana (cuando los ángulos de un triángulo no suman 180º).

Hasta el siglo XX, los Elementos de Euclides fue la obra más vendida de la historia, solo superada por la Biblia.

Diofanto de Alejandría, a través de las palabras en la geometría, concluyó que la abstracción podía ser una simplificación. Es por ello considerado el padre del álgebra.

Fue Descartes quien aunó geometría y álgebra (geometría analítica), ya en el siglo XVII.

El desarrollo de las matema´ticas ha sustentado el desarrollo de la humanidad de una forma u otra. Actualmente es complicado crear una obra que aglutinara todo el conocimiento matemático (ha habido algún intento, como el de Bourbaki).

¿Qué obras se incluyen en el libro «Dios creó los números. Los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia«?

  • Euclides: «Los elementos» (selección de los libros 1, 5, 7, 9 y 10).
  • Arquímedes: «Sobre la esfera y el cilindro» (selección de los libros 1 y 2), «Medida del círculo», «El arenario» y «Método sobre los teoremas mecánicos, dedicado a Eratóstenes».
  • Diofanto: «Aritmética» (selección de los libros 2, 3 y 5).
  • Descartes: «La Geometría» (libros 1, 2 y 3).
  • Newton: «Principia» (selección del libro 1).
  • Laplace: «Ensayo filosófico sobre las probabilidades».
  • Fourier: «Teoría analítica del calor» (selección: propagación del calor en un sólido rectangular infinito).
  • Gauss: «Disquisiciones aritméticas» (selección: residuos de potencias y congruencias de segundo grado).
  • Cauchy: «Cálculo diferencial» (selección) y «Cálculo integral» (selección).
  • Boole: «Investigación sobre las leyes del pensamiento».
  • Riemann: «Sobre la representabilidad de una función mediante una serie trigonométrica» (selección), «Sobre la hipótesis en que se funda la geometría» y «Sobre el número de primos menores que una cantidad dada».
  • Weierstrass: «Una teoría de funciones» (selección).
  • Dedekind: «¿Qué son y para qué sirven los números?» (selección) y «Continuidad y números irracionales».
  • Cantor: «Fundamentos de la teoría de los números transfinitos» (selección).
  • Lebesgue: «Integral, longitud y área (selección).
  • Gödel: «Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines» (selección).
  • Turing: «Sobre números computables, con una aplicación al entscheidungsproblem».

«Dios creó los números», de Stephen Hawking. Editorial Crítica.

Raíces enteras de polinomios: Ruffini + calculadora

¿Sabías cómo utilizar la calculadora para agilizar la obtención de raíces enteras de polinomios o su facturación?

Pues… ¡dentro vídeo!

Contenido recomendado para alumnado de ESO y Bachillerato.

Números reales: actividades 1º Bachillerato

¿Estás repasando la unidad sobre números reales de 1º Bachillerato? Espero que te resulte útil esta ficha de actividades (con las soluciones al final).

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Representación de raíces cuadradas en la recta (teorema de Pitágoras)

Os dejo un breve vídeo sobre cómo utilizar el teorema de Pitágoras en la representación de raíces cuadradas en la recta.

Unidad: números reales.

Curso: Matemáticas 1º Bachillerato

Breakout: SALVA EL PLANETA. Números complejos.

Si ya te has iniciado en el apasionante mundo de los números imaginarios, pon a prueba cuánto sabes con este breakout sobre números complejos «Salva el planeta». La actividad está diseñada para alumnado de 1º de Bachillerato.

Contenidos que vas a necesitar conocer: números complejos, expresión en forma binómica, polar y trigonométrica, representación gráfica y operaciones elementales (suma, resta, producto, división, potencias (fórmula de Moivre) y raíces).

Si te sabe a poco, no te preocupes: puedes practicar con más actividades de la unidad de números complejos al finalizar la prueba .

Sin más dilación, damos paso al… breakout «Salva el planeta»:

Por cierto: como ya sabrás, el planeta podría sobrevivir sin nosotros. Pero al menos en esta época en la que vivimos, nosotros no podríamos sobrevivir sin él. Permitidme sin embargo que titule la actividad como «Salva el planeta», aunque no sea el nombre más adecuado.

Si queremos salvar a la humanidad, cuidemos el medio ambiente y hagámonos cada día esta pregunta: ¿qué podemos hacer hoy para mejorar nuestro entorno?